信號與系統課程中卷積運算的教學方法探討

文靜

[摘 要]針對信號與系統課程中卷積運算非常復雜，學生很難掌握的問題，本文提出采用開火車的方式對卷積運算過程進行講授，把一信號看作火車站，另一信號的自變量變換信號看作火車，在開火車的過程中完成卷積運算，這樣可讓學生直觀了解卷積運算的過程，輕松掌握卷積運算方法。

[關鍵詞]LTI系統; 卷積運算; 開火車

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2020）08-0071-03

在信號與系統課程中，線性時不變系統是一種很重要的系統[1-3]，各種領域的不同系統在很大程度上都可以近似的建模為線性時不變系統，而且我們可以利用線性時不變系統的線性和時不變性去分析該類系統的其他性質，即線性時不變系統具有普遍性和可分析性，它是我們在信號與系統這門課程中的教學重點之一。

卷積運算被用來描述線性時不變系統輸入與輸出之間的關系[4-5]，一個線性時不變系統對任意輸入信號的響應等于輸入信號卷積該系統的單位脈沖響應， 由此可見，卷積運算是分析線性時不變系統的關鍵運算。因此，信號與系統課程要求學生能夠熟練地掌握卷積運算的運算方法。然而卷積運算的運算法則涉及到信號的自變量變換，信號的乘法和積分，所以讓學生感覺非常的復雜，很難掌握其計算方法，這使得卷積運算成為信號與系統課程中的教學難點。 本文提出采用開火車的方式進行卷積運算的教授 ，能夠讓同學們直觀的了解卷積運算的過程，使學生輕松掌握卷積運算的運算方法。本文以離散時間信號和系統為例對信號與系統課程中卷積運算的由來和計算方法的教學方法進行介紹，連續時間信號與系統的情況與其類似。

一、信號與系統課程中卷積運算的由來

在授課中應該首先讓學生了解在信號與系統課程中，卷積運算的由來及其重要性，讓學生從根本上理解其物理含義。

單位脈沖信號被用做構成信號的基本信號單元之一，這是因為它不僅能表示絕大多數信號，而且線性時不變系統對它的響應結構足夠簡單。于是我們把任意一個離散時間信號分解成無數個移位脈沖信號的和，如圖1所示。圖1的分解圖可以輕松引導學生得出以下結論：

即，任意離散時間信號都可以表示成移位單位脈沖信號的加權線性疊加。

式（3）的解讀為：線性時不變系統的輸出信號等于輸入信號卷積系統的單位脈沖響應，即當系統的單位脈沖響應確知，則系統的輸入和輸出的對應關系就確定了，因此得出了線性時不變系統的一個基本性質：單位脈沖響應能夠完全的描述線性時不變系統。

二、卷積運算的運算方法

從卷積運算的定義可知，卷積運算涉及到到信號的自變量變換，信號的乘法和積分，是一種復雜的數學運算。為了使學生能夠更輕松的掌握這種運算方法，本文提出了采用開火車的方式來進行卷積運算。

接下來，舉例說明用開火車的方式做卷積運算的過程。

進行卷積運算的步驟如下：

步驟一：確定火車站和火車。以k為自變量，信號x[k]就是火車站，如圖5所示，火車站的位置在橫坐標為0～5之間，而信號h[k]的自變量變換信號h[n-k]即是一輛火車，火車頭和火車尾分別為n和n-4，n的大小決定了火車頭和火車尾的位置，也就是火車的位置，n從負無窮大逐漸增加到正無窮大的過程就是火車從坐標軸的最左邊一步一步開到最右邊的過程。

步驟二：開火車，對信號y[n]進行分段求解。如圖6所示，火車在從左往右開的過程中經歷了幾個不同的階段。

三、 結語

信號與系統課程要求學生能夠熟練掌握卷積運算，然而卷積運算是一種相對復雜的運算，學生掌握起來非常困難。本文提出了一種開火車的方式進行卷積運算，讓學生能夠很直觀的了解卷積運算的過程，從而更加輕松的掌握該運算。論文用離散時間信號為例講解了用開火車方式進行卷積運算的過程，該方法對于連續時間信號同樣適用，只需要將求和換成積分即可。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 劉樹棠.信號與系統（第二版）[M].西安：西安交通大學出版社，1998.

[2] 鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 徐守時.信號與系統[M].北京：清華大學出版社，2008.

[4] 陸偉，顧理，劉勇.“信號與系統”課程中LTI系統描述方法分析[J].工業和信息化教育，2018（12）：25-28.

[5] 詹平紅.“信號與系統”教學模式的研究與實踐[J].工業和信息化教育，2016（9）：23-25.

[責任編輯：黃緊德]