已知一邊及其所對角在解三角形中的應用

王洪強

摘? 要：解三角形即是求解三角形的三邊與三角。在歷年高考試題中，解三角形既是高考的重點也是熱點問題。其考查形式常與平面向量、三角函數以及正余弦定理等知識點交匯。如果已知三角形兩邊與一角或者兩角與一邊，那么解這樣的三角形是很容易的，這是對一名合格高中生的要求。但是已知三角形的一邊與一角，這樣的三角形有無數個，屬于不定問題。這樣的問題對學生的能力要求較高，具有一定的選拔功能。因此，這種問題常作為高考題目。然而，在教學中很少有老師及學生能把這樣的問題上升為理論，歸納出解決方法。導致了他們總是按照傳統模式去解決這類問題，耗費了大量的解題時間。因此，筆者以此為出發點，在研究中發現了已知三角形的一邊與及其所對的角也有一定的規律性，可應用與求三角形面積的最值、弦互換等問題，這樣可大大提高解題效率。

關鍵字：解三角形? ?一邊及其所對角? 最值? ?邊弦互換

在解三角形時，已知三角形的某一條邊及其所對角，如 的內角 的對邊分別為 ，已知 ， （ 為定值）.其應用如下：

1.邊和弦互換求最值

由正弦定理， （ 為 外接圓的半徑）

可知， 唯一確定，不妨設 .

由 ，得

所以，邊和弦可以互換。

例1： 的內角 的對邊分別為 ， ， ，求 的最大值。

解析：由 ，得? =2

即? ?= ， .

當 時， 的最大值為 .

2.當且僅當 時， 的最大值為 ， 面積的最大值為 .

推論：若 為銳角，當且僅當 時， 的最大值為 ;

若 為鈍角，當且僅當 時， 的最小值為 .

推導：

所以，當且僅當 時， 的最大值為 ;

從而， 面積的最大值為 .

例2：（2013全國2卷） 的內角 的對邊分別為 ，已知 .

（1）求 ;（2）若 ，求 面積的最大值.

解：（1）易得 ;

（2）由結論得，當且僅當 時， 面積的最大值是

強調：本題還可以求 的最大值， 的最大值。

3.已知 ， （ 為定值），若再加一個邊、角關系，即可解三角形中剩下的元素.

例3： 的內角 的對邊分別為 ， ， .若 的面積為 ，求 的值。

解析：由

雖然已知三角形的一邊與及其所對的角雖然屬于不定問題，但我們只要善于抓住三角形所對應的外接圓半徑為定值這一規律，求三角形面積的最值、邊弦互換等問題便迎刃而解。

參考文獻：

[1]黃書虹. 解三角形中的一題多解[J]. 福建中學數學，2019（4）.