數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省南通市通州區(qū)金郊初中 嚴(yán) 霞

數(shù)學(xué)主要研究空間圖像與數(shù)量關(guān)系，是一個(gè)能將自然規(guī)律與社會(huì)規(guī)律相整合的特殊語(yǔ)言與工具。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，“數(shù)”具有運(yùn)算屬性和精確性，“形”有整體性與直觀性，數(shù)形結(jié)合是運(yùn)用數(shù)量和圖像的特有關(guān)系，把數(shù)量和圖像相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到由復(fù)雜變簡(jiǎn)單、由模糊變實(shí)際、由抽象變具體的目的，幫助學(xué)生更快、更準(zhǔn)確地解題，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)自信。

一、以形助數(shù)——應(yīng)用直觀圖形理解數(shù)量關(guān)系

在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，部分?jǐn)?shù)量關(guān)系較為抽象，學(xué)生難以理解和把握，圖形不僅具有直觀形象的特點(diǎn)，還有幾何方面有序性與整體性的特征，能將具體思維表現(xiàn)出來(lái)，在分析和處理問(wèn)題時(shí)起著重要作用。因此，初中數(shù)學(xué)教師在具體的解題教學(xué)中，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生找到數(shù)量所對(duì)應(yīng)圖形，巧妙地將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形問(wèn)題，使其通過(guò)分析與推理圖形直觀地解決數(shù)量問(wèn)題，如利用數(shù)軸、函數(shù)圖像等均能達(dá)到以形助數(shù)的目的，幫助他們快速理清解題思路。

如在開展“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”教學(xué)時(shí)，教師設(shè)計(jì)題目：先畫出一次函數(shù)y＝3x－6 的圖像，學(xué)生觀察圖像解決問(wèn)題：當(dāng)x取何值時(shí)，3x－6 ＝0，3x－6 ＞0，3x－6 ＜0，3x－6 ＞4？

解析：學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖像能夠發(fā)現(xiàn)直線y＝3x－6 同x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程3x－6 ＝0 的解，他們能輕松求出x＝3；直線y＝3x－6 在x軸上方的圖像即為y＞0，在x軸下方的圖像則為y＜0，以及在直線y＝4 上面的圖像是y＞4，這些所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是所求x的取值范圍。

反思：在解決這道題目時(shí)，教師需指引學(xué)生把數(shù)量轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，借助圖形找到數(shù)量關(guān)系，使其在直觀的平面直角坐標(biāo)系輔助下快速求出正確答案。

針對(duì)上述案例，在形象的圖形中，學(xué)生能夠清晰明了地看到數(shù)量關(guān)系，使其嘗試?yán)靡淮魏瘮?shù)圖像求解一元一次方程與一元一次不等式題目，感受到數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)用性。

二、以數(shù)解形——運(yùn)用數(shù)量關(guān)系揭示圖形性質(zhì)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，雖然圖形具有直觀、形象的優(yōu)勢(shì)特征，不過(guò)也有表達(dá)不便、煩瑣與粗略等不足，以至于在定量方面離不開代數(shù)計(jì)算的輔助。尤其是對(duì)于較為復(fù)雜的幾何圖形，學(xué)生在解題時(shí)不僅需要將圖形正確數(shù)量化，還應(yīng)當(dāng)認(rèn)真、仔細(xì)地觀察圖形特點(diǎn)，善于挖掘出幾何圖形中的隱含條件，然后借助圖形的幾何意義或性質(zhì)，使其將圖形準(zhǔn)確地表示為數(shù)量形式，實(shí)現(xiàn)化難為易的目標(biāo)，最終在以數(shù)解形導(dǎo)向下運(yùn)用數(shù)量關(guān)系揭示出圖形的性質(zhì)。

在上述案例中，雖然題目難度不大，圖形也較為簡(jiǎn)單，但是學(xué)生難以準(zhǔn)確確定數(shù)量和圖形之間所對(duì)應(yīng)的關(guān)系，只有通過(guò)計(jì)算數(shù)值才能夠找到處理圖形的方法，以此求得正確答案。

三、數(shù)形互助——數(shù)量關(guān)系圖形性質(zhì)有機(jī)結(jié)合

初中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象主要分為數(shù)量與圖形兩大類別，兩者之間是有密切聯(lián)系的，能相互轉(zhuǎn)換。在解題教學(xué)中，初中數(shù)學(xué)教師要幫助學(xué)生掌握數(shù)形互助的解題方法，原因在于部分?jǐn)?shù)學(xué)題目較為復(fù)雜，并非簡(jiǎn)單的以形助數(shù)或以數(shù)解形，而是要數(shù)量和圖形之間相互變換，既要想到由直觀的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閲?yán)密的數(shù)量，還需由嚴(yán)密的數(shù)量轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^的圖形，使其從已知條件與結(jié)論同步切入，仔細(xì)分析找出題目中內(nèi)在的數(shù)形互助關(guān)系，從而有效解決題目。

比如，在《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教學(xué)實(shí)踐中，教師出示題目：已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如下圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是：（1）a＋b＋c＜0；（2）a－b＋c＞0；（3）abc＞0；（4）b＝2a。

解析：圖形作為一種特殊的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可以有效呈現(xiàn)一些代數(shù)式中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)觀察圖形往往能得出部分算式。此時(shí)，學(xué)生需從數(shù)量和圖形兩個(gè)角度同時(shí)思考，兩者實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)換，他們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)自變量x＝1 時(shí)，函數(shù)值y＜0，當(dāng)自變量x＝－1 時(shí)，y＞0，所以前兩個(gè)結(jié)論是正確的；再結(jié)合函數(shù)圖像開口方向向下，對(duì)稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)位置在第二象限，能得到a，b，c的數(shù)量關(guān)系，判斷后兩個(gè)結(jié)論也正確。

上述案例，學(xué)生從數(shù)形兩個(gè)方面展開同步思考，使其根據(jù)數(shù)量關(guān)系研究圖形特征，再根據(jù)圖形特征引出數(shù)量關(guān)系，通過(guò)數(shù)形的互助作用解答題目，讓他們體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的奇妙。

總而言之，數(shù)與形貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，教師需高度重視這兩者之間的關(guān)系，指引學(xué)生有效應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想來(lái)解題，使其將問(wèn)題變得更為精確化、簡(jiǎn)單化和具體化，借此拓展他們的思維空間，使其快速找到恰當(dāng)?shù)慕忸}思路與方法。