向量的千變萬化

陳國豪　楊付貴

摘? 要：向量的計算和運用是高等數學的教學內容中必不可少的重要組成部分。向量的應用十分廣泛，在證明不等式、證明圖形之間的位置關系和距離大小等方面都離不開向量的應用。可以說，向量在幾何和代數中都占據著十分重要的的地位，并且與部分其他的知識點有著密不可分的聯系，因此本文對向量的作用和價值進行了深入的調查，并對向量在解決不同問題時的具體運用方式進行了分析。

關鍵詞：向量;運用;數學;價值

要想了解向量的作用和價值，增強在數學問題中對向量的運用能力，首先就要明白向量的定義。【1】客觀世界中有這樣一類量，它們既有大小又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，這一類量就叫做向量或矢量。向量是高等教學內容中非常重要的組成部分，它是溝通代數、幾何與三角函數的重要工具，是數與形的高度統一，與課本中的其他知識相比，學習向量的難度相對較大，再加上很多同學對向量在實際解題過程中的應用缺乏熟練度，使得運用向量在高等數學整體的解題方式上顯得比較難。雖然向量的學習比較困難，但是向量也能為我們做題提供極大的便利。在我們逐漸摸索出向量的解題規律之后，就會發現運用向量進行解題，解題步驟的簡化和解題時間的縮短是十分明顯的，這將會大大提高我們的答題效率。因此，掌握向量在我們整個的學習生涯中都是十分重要的。

與此同時，數學基礎薄弱的同學在自己的大學學習中都會面臨數學“解題難”的問題，這些學生往往對很多題無從下手，甚至可以說是毫無頭緒，而向量由于可以同時與幾何、代數以及三角函數等進行綜合應用。（比如利用數量積可以求向量的投影、線段之間的夾角、求直線的方程、判別直線與直線之間、平面與平面之間、直線與平面之間的位置關系及夾角等等;利用向量積可以求平面的法向量、利用向量積的模可以求四邊形的面積，也可以判別兩條直線、兩個平面、直線與平面的位置關系等等）。

比如在求向量積時，我們通常會選擇三階行列式進行計算，這會極大的簡化解題的步驟。比如如下例子

例1：已知三角形的頂點分別為 ，求三角形的面積 。

解：由向量積模的幾何意義可知， ，又由于

由此可見，向量在高等數學解題中得到了較為廣泛的應用，這就要求高等數學課堂教學中不僅要求學生掌握向量的相關知識，還要靈活應用，選擇適合自己的訓練方法，不斷強化自身對向量的綜合運用能力，提高自己的解題速度，在保證正確率的基礎上爭取做到時間的合理利用，在減少做題壓力的同時讓自己有更加充分的時間投入到其它學科的學習當中去，促進自身的全面發展。這就是學好向量所帶來的好處。可以說，向量的運用幾乎貫穿于我們學習高等數學的全部過程。

例如在解答“向量的加減運算”這一問題時，我們不妨設? ，則可以求出向量? 。因為向量滿足平行四邊形法則和三角形法則，所以便可以得出， 由此滿足向量公式： 。【2這個知識點就是一個關于向量在平面圖形中的應用問題，通過這個解答我們就會發現平面問題的解決可以通過運用向量知識進行解答。透過這個問題得出的結論就是“向量”價值和作用的體現，它讓我們意識到平面圖形的應用問題不只有一種方法解答，運用向量也是一個很好的解答方式，這對于培養我們綜合運用的解題思維有著重要的意義。久而久之，當我們再次遇上一些與平面幾何相關的問題時，就會想到運用向量方面的有關知識進行作答。

其次，向量是將幾何和代數相關內容連接在一起的重要紐帶，向量兼具數的特征和形的特性，當面對同時涉及到幾何和代數的問題時，向量的運用能夠很好的為解題提供幫助。向量是既有大小又有方向的線段，能夠很好的體現物體位置的變化以及變化的大小。因此，如果對向量從幾何的角度出發進行理解，就會發現向量可以描述直線的方程物體的長度、面積等幾何度量問題，也可以利用向量的方向性來解決對物體與物體之間的位置關系問題的認識。

也許有的人會認為向量的作業和價值僅僅只是針對數學問題的解答，這種觀念是存在問題的，也從側面反映出部分人對于向量的理解和認識只是停留在表面上，并沒有深入的去挖掘向量的潛在價值。事實上，向量對我們的幫助不只是在學習上，在生活上向量同樣是十分重要的。在機器人設計與操控、衛星定位、程序編排、輪船設計、風速和風向的預測等與人類生活息息相關的現代技術中也包含了有關向量的知識。但就現階段而言，向量的作用和價值更多地體現對在數學問題的應用和解答上。當然，我們在通過向量的知識解答數學問題的同時，也可以從向量的角度去看待生活上的問題，或許會有意想不到的收獲。

總而言之，向量作為現代數學的重要基礎，不僅完善了數學的學科體系，也成為了學習上解決數學問題的一種重要方式。當然，切實地把有關向量的知識納入到自身的數學體系中，對于提高我們解決向量問題甚至其他數學問題的能力有著積極的作用。不論為了學習還是生活，我們都應該盡自己最大的能力去掌握向量的應用。

參考文獻

[1]? 《高等數學》（第七版）下冊，同濟大學數學系編[J]高等教育出版社.

[2]? 向量及其運算

[3]? 平面向量與解析幾何的交匯