類比思維在高等數學中的應用

江穎宜　楊付貴

摘? 要：在高等數學的學習中不僅要重視數學知識和技能的汲取，也要重視思想方法的吸收。本文闡述概念、定理，運用類比法積極思維，培養和提高自身數學學習的推理能力和創造性的思維能力。

關鍵詞：類比;應用;高等數學

一、類比推理與高等數學的聯系

（一）類比推理的概念

類比，就是將一個抽象的（復雜）問題，轉化成另一個具象的（簡單）問題。而類比的對象，是抽象的、不易直接理解的問題。類比是將問題A轉化成問題B，它們之間之所以可以轉化，是因為它們之間，至少在某一點上，有著相似的共性。

（二）類比推理在高等數學中價值作用

高等數學主要包括一元函數微積分與多元函數微積分兩大部分人你，它們是相互獨立的，卻又是相互聯系的。特別是多元函數微積分，許多的概念、定理可與一元函數微積分中相應的概念、定理進行類比。例如n元函數的極限、連續、偏導數、全微分、重積分等重要概念都能與一元函數的極限、連續、導數、微分、積分相類比。站在數學發展歷史的層面上看，很多數學問題都是在觀察、總結、比較和推測中找到解決問題的方式。

二、類比推理在高等數學中的應用

根據中學學習的直線方程的五種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式為出發點，怎樣能確定一張平面呢？平面方程會有什么形式呢？進而推出平面的點法式、一般式、截距式及三點式方程。由此可見，類比推理在概念及公式的形成之初是不可少的，是發現概念和公式的要素。

由距離公式d=? 為出發點，給出定點P（ 及直線方程Ax+By+C=0，若將平面的點類推到空間點P? ，直線方程類推到平面方程 ，那么點到面的距離公式會是什么形式呢？這就很容易類推得 。

類比法也能應用于大學微積分中，主要知識點是一元函數與多元函數的概念、定理和性質等，在學習一元函數微積分時，對概念和性質的理解可以結合直觀性較容易接受，可是到了學習多元函數微積分時，多變量和空間變化，往往讓我們感到束手無策，如何通過類比，把多元函數的概念和相關性質的形成從一元函數找出原型，引入新的觀點，加于推廣并注意它們之間的異同，這可使學習效果達到事半功倍的作用。

在學習二元函數極限概念時，可用與一元函數極限概念相類比的方法給出定義。即首先指出二元函數的極限與一元函數的極限類似，都是反映在自變量的某個變化過程中，函數值無限趨近于某個常數的情況，基于這一種一致性，可類比于一元函數的極限定義給出二元函數的極限的定義，所以也應考慮到讓兩個自變量與一個自變量的不同之處。再分析一元函數的極限是由哪些量描述的。例如以一元函數 時， 以A（常數）為極限的概念為基礎給出二元函數 時 以B（常數）為極限的定義。

一元：? 使當0? 時，總有不等式： ，

于是根據類比可得出

二元：? 使當 即描述自變量得某一變化過程的是兩個量）總有不等式： ，微積分中有許多定理可以作相互類比，通過類比逐步引導自己引出新定理的內容，猜想證明新定理的方法，同時看到所類比的兩個對象間的一致性和差異性例如多元函數連續、可偏導、可微的三者關系時，可與一元函數的連續、可導、可微的三者關系類比。

我們還可以根據類比法利用一元函數連續性、有界性定理類比出二元函數的相關性質與定理。

一元函數的連續性：設 的定義域為D，對任意D的聚點，且 ，如果 稱 在 點連續。

一元函數在定義域范圍內，只要當任意的 無限接近 ，它的函數值 也無限接近 時，那么就說它在 連續。對于二次函數也是需要在定義域范圍內，這時是兩個自變量 ，利用類比，只需要當 無限接近定義域內的聚點 時，它們的函數值 也無限接近 ，那么就可以說 在聚點處連續。

設 的定義域為D， 有意義且 是D的聚點，如果 ，則稱 在點 連續。

一元函數若在區間D上每一點都連續，就可稱它在這個區間D上連續，因此多元函數只要當它在區域D上每一點連續，也稱它在區域D上是連續的。

一元函數的有界性定理：在給定閉區間[a，b]上連續那么它在閉區間[a，b]上一定有界，類比可以給出多元函數有界性定理;如果多元函數在有界閉區域上連續，則函數在該閉區域上有界。

三、類比法應用于數學的意義

根據以上的分析，可以得出類比法在數學解題過程中仍存在局限性，但是不影響它成為最富創造力和想象力的思維方式，在高等數學的學習過程中，需要廣泛地運用類比法，培養自身的聯想能力和對知識與技能的分析轉換能力，有利于很好地培養自己在學習、解題的過程中發現問題并解決問題的能力，促進綜合能力的提升。在高等數學中，恰當地運用類比方法能夠使知識點化難為易，能提高自身的創造性思維，但類比不是盲目的，需要教師的正確引導和學生的自我感悟。合理的利用類比，才能實現數學學習質的飛躍。

不僅是應用于學習，甚至延伸至數學教學，類比法也可以讓學生所熟悉的知識遷移過來，從而更容易掌握新知識，教學達到事半功倍的效果;另一方面，類比的過程是由已知向未知推廣與發展的過程，是學生掌握的數學領域逐步擴充的過程。因此，在教學過程中引入類比，不僅可以引導學生懂得如何探索問題，而且有利于學生發展數學思維。

參考文獻

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