第二個(gè)重要極限公式的實(shí)質(zhì)及推廣應(yīng)用

劉憲升

（濱州學(xué)院理學(xué)院 山東·濱州 256600）

眾所周知，第二重要極限公式是高等數(shù)學(xué)中極限內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是各類考試的必考內(nèi)容。然而，由于抓不住其實(shí)質(zhì)，故學(xué)生縱使解了大量的練習(xí)題，考試遇到這類問題還不得不機(jī)械的重復(fù)解題過程，并不能快速給出答案。其實(shí)，若認(rèn)識透公式的特點(diǎn)及其蘊(yùn)含的規(guī)律，就是這類考研或競賽題也可一眼看出答案。下面，從公式的特征出發(fā)，先揭示其實(shí)質(zhì)并推廣之，然后舉例說明其應(yīng)用。

1 重要極限基本形式的特征及其實(shí)質(zhì)和推廣

1.1 重要極限基本形式的特征及其實(shí)質(zhì)

為方便討論,我們給出重要極限公式。

無論是課本、參考書，還是教師教學(xué)，都指出并強(qiáng)調(diào)公式的以下特征。首先，公式中冪的底數(shù)中，括號內(nèi)必須是1加上一個(gè)無窮小量；其次，冪的指數(shù)是一個(gè)無窮大量，且與底數(shù)中的無窮小量互為倒數(shù)。總之，是屬于 型未定式的極限形式。可以說，正是對這些特征的過分強(qiáng)調(diào)，束縛了學(xué)生的思維，使其認(rèn)識不到公式的實(shí)質(zhì)。其實(shí)，上述對公式特征的分析還不到位，拿公式（1）來說，還有以下特征。

1.2 公式的推廣

為方便應(yīng)用，先給出兩個(gè)簡單形式。

由推廣和原公式可見，這種類型問題的極限只與冪底數(shù)中作為無窮小量分式中分子與分母中關(guān)于 的多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)及指數(shù)中多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，而與常數(shù)項(xiàng)、無關(guān)，這是對公式實(shí)質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識。據(jù)此并結(jié)合上述特征一、二，將公式（1）中，冪的底數(shù)括號內(nèi)的無窮小量推廣至更一般的分式形式，將指數(shù)的多項(xiàng)式推廣至一般的多項(xiàng)式。

證明：推廣式中分式的分母、分子及指數(shù)分別為：

1.3 公式的推廣

2 推廣的應(yīng)用

結(jié)合重要極限的實(shí)質(zhì)及上述推廣公式，再結(jié)合等價(jià)無窮小和靈活應(yīng)用，便可以快速的解決這類問題。

2.1 快速解決選擇題

2.2 快速解決填空題

2.3 驗(yàn)證解答題的正確性

諸如上面求極限值的題目在課本或考試題中也經(jīng)常出現(xiàn).由于我們根據(jù)推廣能快速的看出答案，故計(jì)算的結(jié)果若與看出的答案不符就說明解題過程存在問題，進(jìn)而進(jìn)行檢查改正（不再贅述）。

綜上可見，在用第二個(gè)重要極限來計(jì)算極限時(shí)，其實(shí)經(jīng)常用的是其推廣形式。如能熟練掌握和靈活運(yùn)用這些推廣形式，一眼就可看出題目的答案，秒殺考試中的填空和選擇題。這對于考場上分秒必爭的學(xué)生，既可贏得時(shí)間解決難度大的題，還可穩(wěn)定心態(tài)，促進(jìn)發(fā)揮，獲得更好的成績。