推理與證明

一、填空題

2.（2019年啟東調研）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為________.

3.觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=-sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=f（-x），記g（x）為f（x）的導函數，則g（-x）=________.

4.在△ABC中，若AC⊥BC，AC=b，BC=a，則△ABC的外接圓半徑r=.將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體中，若SA，SB，SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，則四面體的外接球半徑R=________.

5.設f0（x）=sinx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn+1（x）=f′n（x），n∈N，則f（x）=________.2020

6.根據下面一組等式：

S1=1，

S2=2+3=5，

S3=4+5+6=15，

S4=7+8+9+10=34，

S5=11+12+13+14+15=65，

S6=16+17+18+19+20+21=111，

…

可得S1+S3+S5+…+S2n-1=________.

則當n＜m，且m，n∈N時，=________.（結果用m，n表示）.

9.（2019年石家莊市調研）某校為高一學生開設了三門選修課程，分別是文學與藝術、哲學初步、數學史.調查某班甲、乙、丙三名學生的三門選修課程的選修情況時，甲說：“我選修的課程比乙多，但沒有選修哲學初步.”乙說：“我沒有選修數學史.”丙說“我們三人選修的課程中，有一門課程是相同的.”由此可以判斷乙選修的課程為________.

10.（2019年威海模擬）對大于1的自然數m的三次冪可用奇數進行以下方式的“分裂”：仿此，若m3的“分裂”數中有一個是73，則m的值為________.

二、解答題

（1）求證：B1D1∥平面A1BD；

（2）求證：MD⊥AC；

（3）試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

（第11題）

（1）求實數a的值；

（2）若對任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求實數k的取值范圍.

13.設數列｛an｝的前n項和為Sn，且（Sn-1）2=anSn.

（1）求a1；

（3）是否存在正整數m，k，使成立？若存在，求出m，k；若不存在，說明理由.

14.（2019年全國卷Ⅱ）已知函數f（x）=.

（1）討論f（x）的單調性，并證明f（x）有且僅有兩個零點；

（2）設x0是f（x）的一個零點，證明曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線.