玩轉高考題
——直線與圓篇

蘇 玖

高考題（2019年浙江卷第12題）已知圓C的圓心坐標是(0,m)，半徑長是r．若直線2x-y+3=0與圓相切于點A(-2,-1)，則m=____，r=____．

點撥本題考查直線與圓位置關系的應用，考查數形結合的解題思想方法，是基礎題.

如果把圓心放在x軸上，半徑確定，直線方程含有參數，兩者位置關系不變，于是得到改編1．

改編1

已知圓C：(x -m)2+y2=5，直線l：2x-ay+b=0。若直線l與圓C相切于點P(-3,1)，求m,a,b的值.

點撥本題中圓心在y軸上滑動，半徑確定，直線是一條動直線，改變圓方程的形式，如圓是以參數方程形式給出，于是得到改編題2.

改編2

已知直線l：ax-by-2a+b+4=0與圓C：相切，則ab的最大值為，的最小值為_______.

點撥直線與圓相切時，有且僅有1 個公共點，如果有兩個不同交點，就是相交問題，于是就可以改編為有關弦長問題，請看改編題3.

改編3

已知過P(3,5)的直線l與圓O：x2+y2=25 交于A,B兩點，若AB=8，求直線l的方程.

點撥本題已知弦長求直線方程，同學們容易遺漏直線斜率不存在的特殊情況.直線與圓的問題常常與平面向量整合為小型綜合題，于是有改編題4.

圖1

改編4

已知圓O：x2+y2=r2(r＞0)，直線l：x+y-2=0 與圓O交于A，B兩點，點C在圓O上，若，求r的值.

點撥本題是一條直線與圓相交，是不是也可以兩條相交直線與圓相交組成四邊形，然后研究兩條弦長的相關問題，如過某一定點作兩條弦，求弦長的平方和的最值等，請看改編題5.

改編5

已知圓O：x2+y2=8，經過點M(2,0)的兩條直線l1,l2分別交圓O于A,C和B,D點，∠AMB=120°，且圓心O在∠AMB內部或者角的邊界上，求AC2+BD2的最大值和最小值.

點撥本題是研究圓內接四邊形的對角線平方和的取值范圍問題，當然也可以改變條件，如以向量形式給出，研究三角形的面積最值問題，請看改編題6.

圖2

改編6

已知圓O：x2+y2=8，經過點M(2,0)的兩條直線l1,l2分別交圓O于A，C和B，D點，∠AMB=120°，且圓心O在∠AMB內部，，求△POQ面積的最大值.

點撥本題是圓與向量線性運算整合的綜合題，要求三角形最值引入變量，分析引起三角形變化的原因是∠AMO，于是自變量就確定了.

答案與解析

原題：-2；.

改編1：將點P的坐標(-3,1)代入圓C的方程得，(-3-m)2+1=5，解之得，m=-1 或m=-5，再將點P的坐標代入直線方程得，a-b=-6．又因為直線l與圓C相切，所以kPC×，即(m+3)a=2．當m=-1時，a=1，b=7；當m=-5時，a=-1，b=5．故m=-1，a=1，b=7 或者m=-5，a=-1，b=5．

改編2：將圓C的方程化為(x-2)2+(y-1)2=4，由直線與圓相切知，，即a2+b2=4。又由基本不等式知，a2+b2≥2|ab|，所以|ab|≤2，所以ab的最大值為2.又因為，當且僅當|a|=時，ab的最大值為2，的最小值為1．

改編3：當直線斜率不存在時，直線方程為x=3，此時圓心O到直線距離為3，于是AB=8.當直線斜率存在時，設直線方程為y-5=k(x-3)，圓心O到直線距離為，由AB=8 得，，即d=3，所以，解之得，所以直線l的方程為8x-15y+51=0．

改編4：利用點到直線距離公式得，，即圓心O到AB中點D的距離為.于是，兩邊同時平方得，再將已知等式兩邊平方得，，即，解之得，.

改編5：設圓心O到AC，BD的距離分別為d1,d2，因此，所以下 求的最值． 設∠AMO=α(0°≤α≤120°)，于是，d1=2sinα，d2=2sin(120°-α)，因此，進行三角恒等變換化簡得，由于-30°≤2α-30°≤210°，因此所以，所以40 ≤AC2+BD2≤52，故AC2+BD2的最大值為52，最小值為40.

改編6：分別取AC，BD中點E，F，由平面向量知識得，，即，同理可得，，因此EF是△POQ的中位線，所以S△POQ=4S△EOF.設∠AMO=α(0°＜α＜120°)，于是，同改編5，可得d1=2sinα，d2=2sin(120°-α).

解題回顧

直線與圓的位置關系中重點內容：

1.相切、相交；

2.與三角形、四邊形等相關的面積最值或范圍；

3.與向量或圓錐曲線等結合的問題.

處理直線與圓的位置關系問題的步驟：

1.由位置關系找出相關量的等式或不等式；

2.利用圓的幾何性質簡化運算；

3.運用所熟悉的知識（如二次函數、導數、基本不等式、三角函數性質等）和數學思想方法求解.

小試牛刀

1.（2019年天津卷理科第12 題）設a∈R，直線ax-y+2=0和圓為參數）相切，則a的值為____．

2.已知圓O：x2+y2=r2(r＞0)，若直線l：x+y-2=0 與圓O交于A,B兩點，，求r的值.