老師，我為什么算得這么慢
——直線與圓篇

王思儉

例1在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-2,0)，點B(2,2)，直線l1：ax+y+2a=0與直線l2：x-ay-2 +2a=0的交點為P，則積PA?PB的最大值為_____.

小A兩條直線方程聯立得，，因此，太繁了，算不下去了，只好放棄！

問題出在哪里

同學們，他的解題過程有問題嗎？求解策略選擇是否恰當？

解疑小A 的交點坐標解錯了，縱坐標為，因此，于是，令，利用判別式求得，所以0 ≤PA?PB≤10，當且僅當時，等號成立.

注：對于絕對值內部的函數式，可以利用導數法求解，也很容易.

小B我們可以發現這兩條直線分別過定點A和B，l1⊥l2，因此PA⊥PB，于是，PA2+PB2=20.由基本不等式知，PA2+PB2≥2PA?PB，所以PA?PB≤10.

變題1-1在平面直角坐標系xOy中，已知兩條直線l1:axy+1-a=0 與直線l2:x+ay-1-a=0（a∈R）被圓O:x2+y2=25截得弦分別為AC，BD，求四邊形ABCD面積的最大值．

小A先設出直線方程，再求弦長，然后再求四邊形的面積，太繁了，求出由于l1⊥l2，因此四邊形ABCD的面積為，所以S≥10 23，當且僅當a=±1時等號成立.故四邊形面積的最小值為.

敲黑板

小B 的解法簡潔明了，這種觀點就是動中有靜，先探究這兩條直線的過定點問題，然后再研究兩條直線的問題關系，而不是盲目求交點.

問題出在哪里？

小A求出來的是最小值，看看解題過程有什么問題嗎？

解疑

小C抓住利用基本不等式求解（略）.

小D兩條直線互相垂直且都過定點P(1,1)，原點到兩條直線的距離分別為d1和d2，，根據上一道題目討論得，而四邊形的面積為，下面用基本不等式求解（略）.

變題1-2在平面直角坐標系xOy中，過點M(3,0)的直線與圓O：x2+y2=25 交于A,B兩點，求△AOB面積的最大值．

敲黑板

小D 的方法沒有求出AC，BD的具體表達式，利用平面幾何知識，很快找到弦長與圓心到直線的距離關系式，從而很快求出最大值.

小A寫出直線方程x=my+3，代入圓的方程，化簡得(m2+1)y2+6my-16=0，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，因此，圓心到直線距離，三角形的面積為，做到這一步，感覺很難，不敢做下去了，但后來我又分析式子結構，利用換元法求解，令，則m2=，于是.聯想到變量相對集中到分母上，于是，當且僅當t=3時取等號，所以.

小B直接使用基本不等式求解，圓心到直線距離為d，線段，于是△AOB的面積為，利用基本不等式求解，答案也是.

小C因為，所以最大值為，此時圓心到直線距離為.

問題出在哪里

小A、小B、小C的解題過程有問題，你能發現嗎？

解疑

小B同學解題過程中等號成立的條件為圓心到直線l：x=my+3距離d為，于是，得出還是無解.

小C的答案是在假設∠AOB=90°的條件下得出的，事實上90°＜∠AOB＜180°，因此錯了，他犯了潛在假設的錯誤.

收納袋

1.求圓的方程的常用策略

（1）直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．

（2）待定系數法：

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關，則設出圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；

② 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.

2.求與圓有關的定值和最值問題常用策略

（1）與圓有關的長度或距離的最值問題的策略：根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．

（2）與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：

②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；

③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．

敲黑板

只要檢驗結果是否合適，也就是檢驗直線方程是否存在就能發現問題了，因此同學們在求最大值和最小值時一定要指出成立的條件.點M是在圓外的時候，利用小B 和小C 的解法確實簡單.