參數值求不出來怎么辦

2020-07-16 07:56:24余建國

新世紀智能(數學備考) 2020年4期

余建國

例（2016年高考山東文科卷）設f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.

（1）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調區間；

（2）已知f(x)在x=1 處取得極大值，求實數a的取值范圍．

解析

（1）由于f'(x)=lnx-2a(x-1)，所以g(x)=lnx-2a(x-1).

①當a≤0時，因為x∈(0,+∞)，所以g'(x)＞0，g(x)在(0,+∞)上單調遞增；

②當a＞0時，當時，g'(x)＞0，g(x)在上單調遞增；當時，g'(x)＜0，g(x)在上單調遞減.

（2）f'(x)=lnx-2a(x-1),f'(1)=0.

①當a≤0時，當x∈(0,1)時，f'(x)＜0；當x∈(1,+∞)時，f'(x)＞0.所以，當x=1時，f(x)取得極小值，不合題意.

敲黑板

觀察第(1)小題：函數g(x)含參數，想到了什么？對，分類討論！

敲黑板

可導函數y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f'(x0)=0，且在x0左側與右側f'(x)的符號不同．也就是說，若已知可導函數y=f(x)在點x0處取得極值，則必有f'(x0)=0，利用這個方程就能求出一個參數的值．

綜上，實數a的取值范圍是.

反思為什么是2a與1比較大小呢？

這要從課本上的一道習題說起：用函數的單調性證明不等式ex≥1+x，并通過函數圖象直觀驗證.函數y=ex在點(0,1)處的切線方程為y=x+1，除切點外，函數y=ex的圖象均在該切線的上方，如圖1.

圖1

對不等式ex≥x+1 兩邊取對數，得x≥ln(x+1)，也就是x-1 ≥lnx.此式表明，函數y=lnx在點(1,0)處的切線方程為y=x-1，除切點外，函數y=lnx的圖象均在該切線的下方，如圖2.

圖2

敲黑板

乍看第(2)小題，你是不是想這么簡單，利用方程f'(1)=0不就解得參數a的值了？可事實上，無論a取何值，f'(1)=0 恒成立，就是解不出a的值！

其實，高考題第(2)問還不至于這么簡單，一定另有乾坤．

“數學是玩概念的”，華羅庚先生說過，解題遇到困難時，我們要學會“退”，退到簡單情況，退到概念中去——回到極值的定義．

由f'(1)=0 還不一定說明1 是函數f(x)的極值點，必須結合“兩側異號”；就算是，還要分清是極大值點還是極小值點．所以，我們不能只盯住f'(1)=0，還要看看x=1 的左、右側f'(x)的符號，即從整體上研究f'(x)（即g(x)）的圖象．

敲黑板

由x≥ln(x+1)，得x-1≥lnx，你知道是怎么算出來的嗎？對，換元！令t=x+1，則t-1≥lnt，即x-1≥lnx.

因此，如果我們在同一坐標系中畫出y1=lnx，y2=2a(x-1)的圖象，就會發現：當2a≤0時，它們只有一個交點x=1，且當0 ＜x＜1時，y1＜y2，即f'(x)＜0；當x＞1時，y1＞y2，即f'(x)＞0，所以x=1是f(x)的極小值點，如圖3；類似的，當0 ＜2a＜1時，如圖4；當2a=1時，如圖2；當2a＞1時，如圖5.