解析幾何中的定值問題

一、填空題

1.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y2=2x上兩點，且0A⊥0B，則y1y2=.

2.如圖，半圓的直徑AB=6，0為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑0C上的動點，則的最小值是________..

（第2題）

3.已知AB是經過橢圓b＞0）右焦點的任意一條弦，若過橢圓中心0的弦MN∥AB，則|MN|2：|AB|恒等于________..

4.（2019年泰州市模擬卷）已知A，B，P是橢圓上不同的三點，且A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積，則該橢圓的離心率為________.

5.已知正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2x上，則這個正三角形的面積為________..

6.（2020年蘇州市期末卷）設M為雙曲線上的任意一點，則點M到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為________.

7.一束光線從A（-1，1）出發，經x軸反射到圓（x-2）2+（y-3）2=1上的最短路程為________.

8.設a，b是關于x的方程x2sinθ+xcosθ-2=0的兩個實根（θ∈R，a≠b），直線l過點A（a，a2），B（b，b2），則坐標原點0到直線l的距離是________..

9.已知圓0：x2+y2=8交x軸于A，B兩點，M是直線x=-4上的任意一點，以0M為直徑的圓K與圓0相交于P，Q兩點，則直線PQ必過定點________.

10.（2019年海安練習卷）已知圓0：x2+y2=1，點P在直線l：2x+y-3=0上，M為直線y=x與直線l的交點，若在平面內存在定點N（不同于點M），滿足：對于圓0上任意一點Q，都有為定值，則定點N的坐標為________.，定值為________.

二、解答題

11.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C的右焦點F作直線l，交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M，若，求證：λ1+λ2為定值.

12.已知橢圓C：的兩個焦點分別為，點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點M（1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設點N（3，2），記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，求證：k1+k2為定值.

13.若橢圓C：的離心率e為，且橢圓C的一個焦點與拋物線y2=-12x的焦點重合.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設點M（2，0），點Q是橢圓上一點，當MQ最小時，試求點Q的坐標；

（3）設P（m，0）為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點，過P點斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點，若PA2+PB2的值僅依賴于k而與m無關，求k的值.

（第13題）

14.（2020年海門中學練習卷）在平面直角坐標系x0y中，橢圓C：的左頂點為A，點P，Q是橢圓C上的兩個動點.

（1）如圖，當P，0，Q三點共線時，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點，求證：為定值；

（2）設直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，當k1·k2=-1時，求證：直線PQ經過定點R.

（第14題）