方法大PK,運算顯神威
——圓錐曲線幾何性質篇

王思儉

例1（2019年全國I 卷第16題）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，則C的離心率為________．

小A因為，且，所以，則，聯立與，運算很煩瑣，解得，由,整理得b2=3a2，所以c2-a2=3a2，即4a2=c2．

c=2．

小B因為，因此A為F1B的中點，于是又因為，所以即OA為線段F1B的中垂線，于是再由雙曲線的對稱性可知，由于平角知，，因此，所以，所以.

方法大PK

小A 的解法是常規思路，小B 的解法充分利用幾何性質，非常簡潔．同學們在動筆之前，要認真分析題目條件的特征，再選擇合理的運算方法哦．

例2若以雙曲線C：的焦點為焦點的橢圓E與直線l：x-y+6=0有公共點，則橢圓長軸長的最小值為_________．

小A根據雙曲線的焦點F1(3,0)-，F2(3,0)，設橢圓E的方程為：,將直線方程代入橢圓E方程并化簡為關于x的一元二次方程，方程為，利用判別式?≥0,解得或a2≤9（舍），所以，故長軸長的最小值為．

方法大PK

兩種解法都是通性通法，但小B 的解法充分利用橢圓定義和對稱性，運算較快．

小B設點F1關于直線l的對稱點為A（m，n），根據對稱性，求出m=-6，n=3.設公共點為P，于是，故長軸長的最小值為．

敲黑板

你是不是覺得例3 很眼熟，像做過的高考題？直接選B 了？

學習數學不能靠背誦解法和答案，要學會理解、學會思考．

例3（2019年全國卷I 卷第10題改編）已知橢圓C的焦點為F1(-2,0)，F2(2,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若AF2=2F2B，AB=BF1，則C的方程為( )

小A根據橢圓的定義和已知條件，求出,AF2=a，，AF1=a．判斷為直角三角形，再利用余弦定理列方程，得出．在△BF1A中，根據由余弦定理可得，解得，，故選D．

小B求出AF2=a，判斷點A是短軸端點，即OA=b，于是，因此xB=3，，代入橢圓方程求出a2=12，再用勾股定理解得b2=8．

小C設點B在x軸上方，直線傾斜角為，利用圓錐曲線統一定義可得，，，又因為AF2=2F2B，因此，而，所以.又因為AB=BF1，所以3F2B=2a-F2B，即，于是，解得，所以所以.

方法大PK

小A 的方法最基本，但運算量大；小B 的解法以小A 的解法為基礎，利用幾何直觀較快求解；小C的解法既是通法又十分簡潔．

例4（2019年全國II 卷第20題）已知F1，F2是橢圓C：的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點．

（1）若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．

小A利用與橢圓方程聯立，求出，于是．再根據OP=OF，求出，所以，即．

小B由于△POF2為正三角形，因此，代入橢圓方程，化簡得e4-8e2+4=0，解得，即.

小C根據△POF2為等邊三角形，可得在中，，根據橢圓定義可得，于是．

小A由題意可知，滿足條件的點P(x,y)存在當且僅當：，且，結合橢圓方程，得，又，可得b=4．又，所以c2≥b2，于是，故，所以存在點P．所以b=4，a的取值范圍為

小B利用三角換元法，設，于是有，消去θ得，，整理得b4=162，即b=4，故a的取值范圍為．

小C由PF1⊥PF2可得x2+y2=c2，設x=ccosα,y=csinα，代入橢圓方程和三角形面積公式，得，且，消去α化簡得，故a的取值范圍為．

方法大PK

第（1）問的三種解法，前兩種是通性通法，運算量大，第三種解法利用平面幾何知識和橢圓定義，非常簡潔．注意挖掘知識間的內在聯系哦！

方法大PK

第（2）問中，小B的解法自然，而且運算簡潔，小C在中途換元，這種思維方式值得借鑒．

敲黑板

在求與圓錐曲線有關的一些量的范圍或最值時，經常用到圓錐曲線標準方程中x，y的范圍、離心率的范圍等不等關系．

求圓錐曲線離心率的方法：①直接求出a，c，求解e；②構造a，c的齊次式，解出e，由a，c的二元齊次方程，轉化為關于e的一元二次方程求解；③通過特殊值或特殊位置，求出離心率．.

歸納

運用圓錐曲線幾何性質解題的方法主要有：

1.運用圓錐曲線定義求解；

2.在焦點三角形中，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求PF1·PF2，通過整體代入可求其面積，利用正弦定理求離心率等；

3.通過曲線存在范圍求離心率或有關量的取值范圍或最值；

4.整體思想的運用，如三角換元、設而不求等.