數列與其他知識綜臺問題

一、填空題

1.已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn，若，且A，B，C三點共線（該直線不過原點0），則S200=________.

2.已知數列｛an｝的通項公式為an=

3.在等比數列｛an｝中，a1=1，a9=4，函數f（x）=x（x-a1）（x-a2）·…·（x-a9）+2，則曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率是________.

4.已知等差數列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數列，若a1=1，Sn是數列｛an｝前n項的和，則的最小值為________.

5.在數列｛an｝中，a1=1，an+2+（-1）n·an=2，前n項和為Sn，則S100=________.

6.（2019年北京理科卷）設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，若a2=-3，S5=-10，則a5=________，Sn的最小值為________.

8.已知數列｛an｝的前n項的和Sn=（-1）n·n，若對任意正整數n，（an+1-p）·（an-p）＜0恒成立，則實數p的取值范圍是________.

9.已知數列｛an｝滿足a1=1，anan+1=2n，n∈N*.則數列｛an｝的通項公式為________.

10.已知數列｛an｝滿足：a1=1，a2=x（x∈N*），an+2=|an+1-an|（n∈N*），若前2010 項中恰好有666 項為0，則x=________.

二、解答題

11.設數列｛an｝的前n項和為Sn，首項為x（x∈R），滿足.

（1）求證：數列｛an｝為等差數列；

（2）求證：若數列｛an｝中存在三項構成等比數列，則x為有理數.

12.（2020年常州市模擬卷）已知數列｛an｝的首項為1，Sn為數列｛an｝的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2+2成等差數列，求數列｛an｝的通項公式；

13.設數列｛an｝，｛bn｝（n=1，2，3，…）由下列條件確定：①a1＜0，b1＞0；②當k≥2，k∈N*時，ak，bk滿足如下條件：當≥0 時，；當時，.

（1）如果a1=-5，b1=9，試求a2，b2，a3，b3的值；

（2）證明：數列｛bn-an｝為等比數列；

（3）設n（n≥2）是滿足b1＞b2＞b3＞…＞bn的最大整數，證明：.

14.（2019年上海春季卷）已知等差數列｛an｝的公差d∈（0，π]，數列｛bn｝滿足bn=sin（an），集合S=｛x|x=bn，n∈N*｝.

（3）若集合S恰好有三個元素：bn+T=bn，T是不超過7的正整數，求T的所有可能的值.