導數與方程、不等式

一、填空題

3.（2019年南昌二中期中卷）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[-2，2]）表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線斜率均為-1，有以下命題：

①f（x）的解析式為f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；

②f（x）的極值點有且僅有一個；

③f（x）的最大值與最小值之和等于零.

其中正確命題的序號為________.

4.已知函數f（x）=x3+3xf′（1），則方程f′（x）=0的根是________.

5.已知函數f（x）=x2-（2a-1）x+a2-2與直線y=0（x≥0）至少有一個交點，則a的取值范圍為________.

7.已知函數f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（a∈R，a＞0），若存在，使得f（x0）＞g（x0）成立，則a的取值范圍是____________.

8.已知函數f（x）=mx3+nx2的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，若f（x）在區間[t，t+1]上單調遞減，則實數t的取值范圍是____________.

9.已知函數f（x）=，若函數g（x）=f（f（x））+1有4個零點，則k的取值范圍是______________.

10.（2019年廣州市期中卷）已知函數，若對任意的x1∈[-1，2]，存在x2∈[2，4]，使得f（x1）=g（x2），則實數a的取值范圍為________.

二、解答題

11.（2018年全國Ⅰ卷）已知函數f（x）=aex-lnx-1.

（1）設x=2是f（x）的極值點.求a，并求f（x）的單調區間；

12.已知函數f（x）=ln（x+1）-mx.

（1）求函數f（x）的極值；

（2）若函數f（x）在區間[0，e2-1]上恰有兩個零點，求m的取值范圍.

13.已知函數f（x）=lnx，（a＞0），設F（x）=f（x）+g（x）.

（1）求F（x）的單調區間；

（2）若以F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x0，y0）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的最小值；

（3）是否存在實數m，使得函數y=的圖象與函數y=f（1+x2）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

參考數據：ln2=0.69.

14.（2019年全國Ⅰ卷）已知函數f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）為f（x）的導數.證明：

（1）f′（x）在區間上存在唯一極大值點；

（2）f（x）有且僅有2個零點.