逆向分析，一招制勝
——有試驗終止條件的事件的概率求法

余建國

例1(2019年全國Ⅰ理科卷第15題)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0．6，客場取勝的概率為0．5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1 獲勝的概率是____．

破題“甲隊以4∶1 獲勝”意味著什么？

這其實就是指甲隊通過5 場比賽獲得了勝利，并且甲隊第5 場(主場)比賽獲勝，前四場(兩個客場、兩個主場)對乙隊的戰績是三勝一負．

解析由于主客場勝率不一樣，前四場比賽甲隊獲勝的概率分布還不是“二項分布”，于是再進行更細致的分類．

記“甲隊第5 場(主場)比賽獲勝”為事件A，則P(A)=0.6；記“甲隊前四場比賽三勝一負”為事件B，由于各場比賽結果相互獨立，由表1 可知，P(B)=2[(1－0.6)×0.6×0.52+0.62×(1－0.5)×0.5]=0.3．

由于各場比賽結果相互獨立，“甲隊以4:1 獲勝”即為事件AB，所以P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.3=0.18．

例2(2019年全國Ⅱ理科卷第18題)11 分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當某局打成10:10 平后，每球交換發球權，先多得2 分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0．5，乙發球時甲得分的概率為0．4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10:10 平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束．

表1

（1）求P X(2)=；

（2）求事件“X=4 且甲獲勝”的概率．

破題第（1）小題，事件“X=2”是什么意思呢？

這其實是指10∶10 平后，兩人又打了2 個球該局比賽結束．根據比賽規則，更清楚地講，這2 個球均由甲得分(甲先發一球，乙后發一球)，從而該局比賽以甲對乙12∶10結束；或者這2 個球均由乙得分(甲先發一球，乙后發一球)，從而該局比賽以甲對乙10∶12 結束．

解析（1）“X=2”是兩個互斥事件“2 個球均由甲得分”與“2 個球均由乙得分”的和，因而P(X=2)=0.5×0.4+(1 -0.5)×(1 -0.4)=0.5．

解析（2）“第1、2 球甲一勝一負”并不是二項分布概型．記“第1、2 球甲一勝一負”為事件A，“第3、4 球均為甲勝”為事件B，則“X=4 且甲獲勝”就是兩個相互獨立的事件A與B的積，即“X=4 且甲獲勝”=AB．由題意，P(A)=0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4=0.5，P(B)=0.5×0.4=0.2，所以P(AB)=0.5×0.2=0.1，事件“X=4且甲獲勝”的概率為0.1．

破題第（2）小題，事件“X=4且甲獲勝”意味著什么呢？

這其實就是指10∶10 平后，兩人又打了4 個球該局比賽結束，且這4 個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1 分，后兩球均為甲得分，對甲而言，實際比分是13∶11．

例3（蘇教版2-3“探究?拓展”題）袋中有7 個白球，3 個紅球，每次從中任取1 個，直到取到白球為止．對應于下面兩種取法，分別求取球的次數X的概率分布：

（1）取到的紅球不放回；

（2）取到的紅球放回．

解析（1）逆向分析每一個事件，可得取球的次數X的概率分布為表2．

（2）記“取到紅球”為事件A，于是有，則“取到白球”為事件．

取球的次數X的概率分布為表3．

我們知道，概率分布表有個特點：

p1+p2+…+pn=1．

那么表3 中的概率和又為多少呢？其意義是什么？

這里用到了無窮遞縮等比數列(公比q滿足)求和公式．p和=1 表明，無限次取下去，終有一次取到白球．

破題第（1）小題，由于取到的紅球不放回，且紅球只有3 個，所以第4 次一定取到白球，X=1,2,3,4.

表2

破題第（2）小題由于沒有“強行終止”條件，理論上講，取球游戲可以無限進行下去，即X=1，2，…，n，….

表3

敲黑板

在有試驗終止條件的事件的概率問題中，只要仔細分析終止條件，逆向追溯，將所求概率的事件分解為若干互斥事件的和或獨立事件的積，就能準確轉化，順利求解．