淺談行列式在線性代數(shù)中的應(yīng)用

蔡磊

摘 要 行列式是線性代數(shù)教學中的重要內(nèi)容之一，其應(yīng)用貫穿于整個線性代數(shù)中。本文總結(jié)和歸納了行列式在矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣及二次型中的一些應(yīng)用，使得學生對行列式的知識有了更深層次的理解與認識。

關(guān)鍵詞 行列式 線性代數(shù) 應(yīng)用

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

0引言

行列式在線性代數(shù)中具有非常重要的地位，很多線性代數(shù)的問題都可以轉(zhuǎn)化為計算行列式來解決。為了使學生更好地理解與掌握行列式的知識，靈活運用行列式知識，以下總結(jié)和歸納了行列式的一些應(yīng)用。

1在矩陣中的應(yīng)用

1.1求矩陣的秩

矩陣的秩：中非零子式的最高階數(shù)。

例1.1求的秩。

解根據(jù)矩陣秩的定義。在矩陣中，存在二階子式。而三階子式只有一個，即。所以，。

1.2證明矩陣可逆，并且可以求出逆矩陣

定理1.2矩陣可逆的充要條件是，且，其中為的伴隨矩陣。

例1.2求矩陣的逆矩陣。

2.2判定線性方程組的解

定理2.2如果（2.1）對應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則該齊次線性方程組只有零解，沒有非零解;反之也成立。

3在向量組中的應(yīng)用

3.1判定向量組線性相關(guān)（無關(guān)）

結(jié)論對于個維向量，，…，構(gòu)成的向量組。當時，向量組線性相關(guān);當時，向量組線性無關(guān)。

例3.1判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)。

解因為，所以此向量組線性相關(guān)。

4在相似矩陣及二次型中的應(yīng)用

4.1求矩陣的特征值

矩陣的特征值一種計算方法：計算滿足的值。

例4.1求矩陣的特征值。

解的特征多項式為，

所以的特征值為，。

4.2判斷二次型的正定性

定理4.2二次型為正定的充要條件是：的各階順序主子式都為正。

例4.2判斷二次型的正定性。

5結(jié)束語

線性代數(shù)課程具有較強的邏輯性、抽象性，在教學中，教師要對知識點進行總結(jié)和歸納，使學生對知識內(nèi)在聯(lián)系把握清楚，從而達到融會貫通的效果。

參考文獻

[1] 同濟大學數(shù)學系.工程數(shù)學線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.