在例題中淺談“面積法”

李勁松

摘? 要：利用圖形面積自身相等的性質、圖形可拆分性質進行解題的方法叫做“面積法”，在中學階段是一種常用的方法，具有解題便捷快速、簡單易懂的特點。

關鍵詞：面積法;線段相等;可拆分性

所謂巧用三角形面積法解題就是利用幾何圖形中邊、角與面積之間的關系，運用代數手段來完成幾何中的推理過程，用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡潔，易于接受和掌握。可以用來證明諸如線段相等，角相等，求線段的長，圖形的面積等等。下面淺談幾種方面的例題選取。

一、用面積法求線段的長：

例1：如圖1，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，BD⊥AC于點D。求BD的長。

解析：先利用勾股定理求出 ，再利用三角形的面積得： ，可求出 。

例2：如圖2，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，BD平分∠ABC，求CD的長。

解析：過點D分別向AB、BC作垂線，則四邊形BEDF是正方形，設DE=? ，利用三角形的面積可拆分性， ，可以列出方程： ，求出DE，最后用勾股定理易求出BD的長。

總結：這種利用圖形面積自身相等的性質、圖形可拆分性質進行解題的方法叫做“面積法”，在中學階段是一種常用的方法，具有解題便捷快速、簡單易懂的特點。

二、用面積法證明線段相等。

例3：已知：如圖3，AD是△ABC的中線，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延長線于E。求證：CF=BE。

解析：連接CE，因為：

所以：

即：BE=CF

三、用面積法證明線段和差相等。

例4：如圖4，點P是等邊三角形內部一點，過P作PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，△ABC的高為h，試說明PD+PE+PF=h.

解析：連接AP、CP、BP，利用面積可拆分性質有：

得出：PD+PE+PF=h.

例5：如圖5，P是等腰三角形ABC底邊BC上任一點，PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，BH是等腰三角形ABC的邊AC上的高。試猜想線段PH和PE、PF之間有怎樣的數量關系。

解析：連接AP，利用三角形面積可拆分性質有： ，

所以：

即：BH=PE+PF

例6、如圖6，E是矩形ABCD邊AD上一點，且BE=ED，P是對角線上任一點，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分別為點F、G。試證明PF+PG=AB。

解析：連接PE，

因為：

所以：

則可得出：PF+PG=AB

在數學解題過程中，面積法有廣泛的應用價值，利用面積法往往能化難為易，化繁為簡。在教學中適當的滲透給學生這方面的數學思想，講解幾道例題，能有效提升學生綜合能力，豐富解題手段，使學生分析問題，解決問題的能力得到一定提高。

參考文獻

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[2]? 蔡建華.拓展教學空間 促進思維生長[J].江蘇教育，2015（33）：71-72.