讓學生體驗知識形成帶來的快樂

趙麗娟

一、案例背景

本案例選自人教版高中數學必修2第二章2.2.1《直線與平面平行的判定》。高中立體幾何課程歷來以培養學生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標。《新課程標準》要求“認識空間圖形，培養和發展學生的幾何直覺，運用圖形語言進行交流的能力，空間想象能力與一定的推理論證能力”。

二、案例過程

老師：我們已經學習過點，線，面的位置關系，今天探究如何判定直線與平面平行的。給兩分鐘時間，請思考以下問題：

1、生活中，哪些現象給我們以直線與平面平行的形象呢？

2、我們應該如何判定直線與平面平行關系呢？你有哪些解決方案？

3、在直線與平面平行的過程中，蘊含著怎樣的思想方法呢？

學生靜靜思考，并做記錄;教師巡視、觀察。

學生1：教室看成長方體模型，棱和對面平行，因為……直覺告訴我平行。

其他學生竊竊私語。

學生2站起來說：我認為他說的很荒謬，因為直覺是不嚴謹的，常常會出差錯。但是我也卻無法反駁他所說的實例……我感覺我翻開課本的時候，書的邊沿和桌面也是平行的，因為把書的邊沿可以放回桌面。

學生3：我感覺教室打開的門邊沿和門框所在面平行，并且無論門在什么位置，都和門框所在平面平行，但是我不知道為什么？

其他學生發出驚嘆聲音，不由自主看向門，主動翻翻課本，體驗直線和平面平行。

老師評價：我也很同意大家所舉實例。

學生1說：“直覺”，在數學史上不正是有很多大膽的猜測，直覺，才引領我們一步步走向真理嗎？學生2說他的原因是“書可以放回桌面”，這也給我們提供一個思路;學生3的觀點是“門無論在什么位置”，這也給我們提供一種新的方案。

老師：那么我們判定直線與平面平行的方法有哪些方案呢？

（學生小組討論，并做記錄;老師不時指導，巡邏）十分鐘后，小組展示：

小組1（展臺呈現記錄，并口述）：直線 與平面 平行的定義是直線 和平面 沒有公共點，定義一般是雙向互推的，可用符號表示為 ，由此定義可以得到直線 和平面? 平行的基本判定。

小組4（展臺呈現記錄，并口述）：線在面內的判定轉化為點在面內的判定，即? ，從而轉化為點和面的問題，類比公理1，我們將判定直線與平面平行問題，轉化為點與平面問題，或者直線與平面內直線平行問題。

小組5（展臺呈現記錄，并口述）：異面直線所成的角的確定，我們是通過將兩條異面直線平移至共面來解決的，即把空間問題轉化為平面圖形問題。

小組6（口述）：小組5的方案提醒我，只要說明直線和平面夾角是0，也可以判定直線和平面平行。

老師評價：想不到同學們能有這么多的想法，值得鼓勵，為優秀的自己鼓掌。

老師：那么接下來，實際操作以上方案，是否可行？先論證小組1的方案，即“已知直線 與平面 無公共點，證明：直線 與平面 平行”。

學生：顯然是可以證明的，但是已知條件太苛刻了，平面是無線延伸的，直線是無線延伸的，很難說明“無公共點”。理論正確，但是不好操作。

老師：確實是這樣的，操作性不強，卻理論上可以說明直線和平面平行。（老師在副黑板上書寫該證明方法）

老師：小組5的方案，即“已知直線 與平面 夾角0，證明：直線 與平面 平行”。那么如何求直線與平面的夾角？

學生：直線與平面的夾角計算量大，不簡便，并且不利于實際生活中應用。

老師在副黑板寫下該證明方法。

老師：小組4的方案，即“已知點A在平面 外，點A在直線 上，求證：直線 與平面 平行”。

學生4（用筆實踐，讓其他學生觀看實驗）：這是錯誤結論。

小組4補充：“已知點A，B在平面 外，點A，B在直線 上，求證：直線 與平面平行”。

學生4再次用筆實踐，讓其他同學觀看，強有力的說明該結論的錯誤性。

小組4不肯放棄自己的方案被推翻，再次補充：“已知直線 在平面 內，直線 與直線 平行，求證：直線 與平面 平行”。

學生4靜靜思考……

學生2：對啊，翻書的過程，書的邊沿，桌面和書的交線平行，所以書的邊沿和整個桌面是平行的，類似的開門也是這個道理啊。

其他學生也紛紛表示贊同。

老師：同學們的討論很激烈。那么，平面內的直線，是任意一條？無數條？還是兩條？還是一條就可以？針對以上情況，請說明你的理由或者舉出反例反駁。

學生思考，全班陷入沉寂。

這時老師緊抓“條數”問題展開探究。

老師：由上面的圖形分析，不必證明任意一條，無數條，只需要證明平面內的一條直線與另一直線平行即可。

老師在副黑板上繼續寫出此定理，口述：“若一條直線與平面的一條直線平行，則該直線與此平面平行”。

老師繼續提問：同學們，上面命題有什么補充嗎？請實際操作說明。

學生很快尋找出漏洞，老師補充完整，并在主黑板上書寫“直線與平面平行的判定”，即：若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與平面平行。

作用：判定或證明線面平行。

關鍵點：在平面內找（或作）出一條直線與平面外的直線平行。

思想：空間問題轉化為平面問題。

老師繼續追問：如圖，平面 外的直線 平行于平面 內的直線 ，則這兩條直線共面嗎？直線 與平面 可能相交嗎？

學生反映很靈敏，能夠準確說出答案。

老師：請思考如何具體尋找出平面內的直線呢？現在立體幾何問題轉化成平面問題，結合初中所學知識和你的數學經驗，尋找直線與直線平行的判定，總結記錄下來。

學生小組討論，展臺展示，并舉例。

接下來，老師設計兩個例題，意在：1、幫助學生準確理解并牢記線面平行的判定定理，緊抓條件和結論，著重注意其中的關鍵詞;2、幫助學生總結解題技巧，平行四邊形和中位線是判定線線平行的有效工具，強調學生總結線線平行的判定。

例1：判斷下列命題的真假？說明理由：

①如果一條直線不在平面內，則這條直線就與平面平行（）

②過直線外一點可以作無數個平面與這條直線平行（）

③一直線上有二個點到平面的距離相等，則這條直線與平面平行（）

例2：（見課本60頁已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，

求證：EF || 平面BCD

練習：如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1中點，求證：EF||平面BD1B1

老師：請回憶本節課所學內容，回顧探索直線與平面平行的判定過程，總結判定直線與平面平行的方法，歸納判定線線平行的技巧。