折紙藝術在機械工程中的應用

陳心蔚

摘? 要：本文是對機械工程中折紙藝術最新的研究綜述。主要介紹了折紙中常用的基本概念和定義，包括重要數字折紙研究的背景。本文不僅概述了折紙在機械工程中的應用，還介紹了基于折紙的設計過程和當前可用于設計的軟件的基礎。本文的目的是向可能不熟悉這個領域的機械工程師介紹這個主題，并鼓勵他們基于折紙在機械工程中的設計和應用。

關鍵詞：機械工程;設計;復雜系統;包裝;設計研究

1前言

盡管折紙藝術具有豐富的美學歷史，但絕大多數實際應用已經出現在過去的50年內。計算機科學，數論和計算幾何學的進步為強大的新分析和設計技術鋪平了道路，如今這些技術已遠遠超出了藝術本身1。盡管機械工程一直與部件之間可以發生相對運動的設備有關，從某種意義上講，這種運動可以折疊，但機械工程的折紙領域卻是最近才開始發展，它正在帶來新的有用的結果。現在可以使用折紙概念有效地設計和分析一維折疊鏈接，二維平面形狀和三維多面體。本文概述了折紙在機械工程中的研究現狀。它簡述了數學和計算機折紙，大多數工程學所依賴的學科，并概述了已開發的主要應用程序2。

2折紙的數學背景

盡管折紙的數學方法已經做了大量的工作，但我們僅涉及與本綜述相關的一些重要的幾何，拓撲和優化方面。雖然目前尚不存在本節中的數學主題與應用程序之間的緊密聯系，但本次審查的目的之一是提出最相關的數學主題，以幫助促進數學的發展。數學理論與機械工程應用之間的緊密聯系。

多面體是由多邊形組成的任何3D曲面，它們是邊緣為直線的2D平表面。折紙可用于通過折疊從平整的紙上創建任何多面體。證明這涉及將一張紙折疊成一個細長的矩形。接下來，必須對要建模的多面體的多邊形面進行三角剖分。這樣可以覆蓋多面體表面上的每個結果三角形。使用鋸齒形路徑，與下一個三角形的共享邊成對角線并從對角開始，用于多面體上的每個三角形。旋轉小工具可用來創建路徑，該小工具將條帶通過山形折痕折疊到其自身上，并以所需的角度將背層折疊起來。

平面折疊性是設計的屬性，可以將其折疊到一個平面中，厚度由材料確定。對多頂點折疊的全局平坦折疊性進行歸納是一個NP難題，并且仍然存在，但是單頂點情況已廣為人知。從一個頂點發出的折痕圖案由折痕之間的n個角度定義，對于一張整張紙，折痕之和為360°。

3 折紙在機械工程中的應用

3.1應用于工程的折紙

紙在大多數數學研究中都被認為是二維的，而不是絕大多數工程應用中使用的材料。但是，重要的是研究和理解折紙在折痕之間如何折疊，以便將這些結果外推到工程中使用的材料上3。以前，我們假設紙張的面在折疊過程中保持筆直。但是，這不一定是正確的，因為紙張是柔性的。

為了解釋表面如何折疊，將高斯曲率定義為3D曲面上任一點的最小和最大曲率的乘積。鞍形為負，凸圓錐形為正，本征平面為零。總的高斯曲率在折疊過程中不會改變。折疊一張紙將始終形成曲率為零的形式，并且最小曲率在每個點處局部為零。這就解釋了如何通過壓下外殼的中間部分使比薩餅片具有一定的彎曲度并支撐比薩餅的長度，從而有效地處理比薩餅，比薩餅的長度現已受到限制。

從理論折紙向工程學過渡的一個主要挑戰是在材料中增加一些有限的厚度。在已開發的大多數數學結果中，都假定厚度為零的2D表面。已經提出了幾種增加厚度的方法，它們都涉及鉸鏈或折痕的一些調整。本質上，任何折疊設計中的邊緣都可以在谷形折痕處鉸接在一起。主要問題是在一個頂點上有幾條折線。不再有并發邊緣，并且邊緣變得過度約束。有多種方法可以在每個頂點使用對稱性并實現可行的設計。也有可滑動的鉸鏈，允許邊緣沿連接面板的表面滑動。

解決過度約束問題的一種方法是修整山谷兩側的邊緣體積，而不是將鉸鏈移動到山谷褶皺。這樣可以使頂點以不與邊緣相交的方式變角。圖1顯示了這些方法的示例。在許多折紙工程應用中，另一個障礙是折疊的成本和時間，這對可能引入折疊的應用構成了障礙。另外，必須達到耐用性，因為工程應用可能需要反復折疊和展開。以下是折紙機械工程應用的一些主要領域。

3.2折紙在運輸、包裝和儲存中的應用

折疊可用于提高在有限空間內運行的設備的性能。因此，該區域中的設備通常以折疊狀態或未折疊狀態存在，并且在任何一個方向上都不顯示最終運動。大多數工程應用使用的材料不如紙柔韌性好，并且近似于剛性。數學解決方案可以在許多不同的工程應用中實現。消費品包裝提供了廣泛的剛性折紙示例，包括自動包裝折疊過程和設計最有效的包裝。

折紙制造包裝中的一個折紙的最新例子是扁平折疊式剛性購物袋。該解決方案可使紙箱底部保持剛性，并可應用于各種尺寸比率和厚度的購物袋。新的折痕圖案是用于折疊袋的傳統圖案的變體，但上部和下部被圍繞袋的水平折痕分隔開。相對容易地顯示出包括基部的下部是可剛性折疊的。為了實現工作設計，將袋子分成四個相同的部分，每個部分居中，并且由于對稱性，只分析了一個部分。基于矢量的方法通過證明結構中的每個面板保持平面并在整個折疊過程中與相鄰面板連接，從而確保袋子可剛性折疊。唯一的設計變量是角度的選擇，該角度決定了袋子側面相對于水平方向的折痕。此變量具有最大和最小允許值，該值由高度相對于整個袋子深度的比率確定。設計中的唯一其他限制是為袋子提供足夠的寬度，以確保在折疊運動過程中袋子的頂角不相交。由于導致剛性可折疊性的條件的高度非線性特性，因此可以找到數值解。

空容器的運輸在航運業中是不可避免的，并且已經進行了多次嘗試來制造可折疊的運輸容器。展開和折疊容器時必須具有簡單性和耐用性，并且應使用輕質材料來降低皮重。盡管折紙驅動通常用于工程折紙，但是在這種情況下，手動展開和折疊可能更為合適，以降低成本并保持設計的堅固性。考慮到該解決方案對各種尺寸比例的魯棒性，與剛性和扁平折疊購物袋中使用的折痕樣式相似的折痕樣式可能會對該應用有所幫助。迄今為止，已經向市場推出了兩個主要的可折疊容器，但它們都沒有在商業上獲得成功，因為它們具有更高的皮重，并且比標準容器貴得多。

結論

折紙是一種藝術形式，目前正在發現許多工程應用。這項調查描述了折紙在機械工程中的主要應用。盡管將折紙數學直接應用于工程的情況仍然很少見，但最近領域的擴展已導致可用于定義折疊和展開極限的算法，并為基礎概念提供了基礎，例如剛性折疊性。已經在航空航天，生物醫學設備，包裝，存儲，制造，機器人技術，機制，自折疊設備，核心結構和體系結構等領域探索了應用程序。

參考文獻

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