淺談矩陣的特征值及其求法

摘? 要：矩陣特征值理論在許多實際問題的解決中起著重要作用.本文主要研討了矩陣的特征值及其性質以及矩陣的特征值的求法，為讀者能夠更加全面深入，清晰的理解和掌握矩陣的特征值及其性質和如何求矩陣的特征值，提供一些基本思路，常見的方法和參考。如有不妥之處，請讀者給予批評指正。

關鍵詞：特征值;矩陣;行列式;逆矩陣

在18世紀，達朗貝爾在對常系數線性微分方程組解的研究中，最早對矩陣的特征值的進行了探討，同時，柯西通過對二次曲面及二次型的探討，證明了實對稱矩陣的特征值皆為實數，隨著現在科學的發展，經常在的特征值理論現已廣泛應用于現代科學技術的各個領域。

一. 特征值的定義

定義：設 為 階方陣，如果 ，則稱 為 的特征值。

二.特征值的性質

性質1：設 為 階方陣，則 必有 個特征值 。

性質2：設 為 階方陣 的特征值，則有

（1） ;（2）

性質3：設 為方陣 的特征值，則有

（1） 為 的特征值;（2） 的特征值;（3）如果 為非奇

異矩陣，則 分別為 的特征值;（4）如果 為 的多項式，則 為 的特征值。

性質4：實對稱矩陣的特征值，都是實數。

性質5：實對稱矩陣的對應于不同特征值的特征向量相互正交。

性質6：實對稱矩陣的 重特征值，恰好有 個對應于此特征值的線性無關的特征向量

三.求矩陣特征值的常用方法

1. 為具體的矩陣（即 的各個元素具體給出），則求 的特征值的方法，就是求特征方程? 的全部根 ，即為 的全部特征值。

解：（1）由 ，可得 的特征值為 。

（2）方法1：首先求 ，然后再求特征方程 的根，即可求得 的特征值。（略）

方法2：設 ，如果 為 的特征值，則 為 的特征值。由于 有特征值為 ，所以 的特征值為 ， 。

一般情況下，用求特征方程的根的方法求矩陣的特征值，比較麻煩，我們可以考慮應用特征值的性質求矩陣的特征值，往往會有收到較好的效果。

另外，在計算行列式 的過程中，往往要特別注意利用行列式的性質，進行“小零降階”，以便求得 的一次因式。特別是對于3階及3階以上的矩陣，一般不宜用對角線法則計算 ，因為 式關于 的3次或3次以上的多項式，因式分解有一定（或十分）困難。

2. 是抽象矩陣時，計算矩陣 的特征值的常用方法為：（1）利用矩陣特征值的定義;（2）利用矩陣特征值的性質;（3）利用 等相關聯矩陣特征值的關系.

例2：設 階方陣 滿足 ，證明 的特征值是1，或 -1.

證明：設 的特征值為 ， 是 的對應于 的特征向量，則有 ，將其兩邊

左乘矩陣 ，得到 ，因為 ，所以 ，又由于

故 ，因此，矩陣 的特征值是1.或 -1.

例3：設 階方陣 滿足 ，而且 ，證明-1是矩陣 的特征值。

證明：因為 ，所以 ，從而 ，又由于 ，

所以， 。又因為 ，所以，-1是矩陣 的特征值。

例4：設三階矩陣 的特征值為1，2 -3，（1）求 的特征值;（2）求

的特征值。

解：（1）因為矩陣 的特征值為1，2，-3，所以， 。又如果 為 的特征值，則 的特征值為 ，所以， 的特征值為 -6，-3，2;從而 的特征

值為-12，-6，4;因此 的特征值為 。

（2）由于 的特征值為1，2，-3，又由特征值的性質可知，如果 為 的特征值，則 的特征值為 ，所以， 的特征值為2，16，-54;從而 的特征值為

;因此， 的特征值為 。

例5：設3階方陣 滿足 ，求 的特征值。

解：設 ，則由

，且

，可得 ，即 ，從而可得矩陣 的特征值為 。

例6：設4階方陣 滿足 ，求 的伴隨矩陣 的一個特征值。

解：因為 為4階方陣，所以有， ，從而，可知 有一個特征值為 。又因為 ，所以， 又由 ，可得

，根據特征值的性質，可知 由一個特征值為 。

例7：證明：（1）如果正交矩陣 的行列式 ，則 是 的特征值;

（2）如果奇數 階正交矩陣 的行列式 ，則 是的特征值。

證明：（1）因為 為正交矩陣，所以 ，又 ，從而有

，

因此 ，也即 是 的一個特征值。

（2）因為 為奇數 階正交矩陣，所以有

從而 ，也即 是 的一個特征值。

參考文獻

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作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。