氣動伺服彈性對導彈飛行狀態的影響研究*

李培垚，李文光，劉 莉，周 玙

(北京理工大學，北京 100081)

0 引言

隨著現代軍事技術的不斷發展，新材料、新技術在武器中的應用越來越廣泛，無人機、飛機等作戰目標的機動性越來越強，這對導彈的性能提出更高要求，為提高導彈的有效載荷，在設計導彈時，導彈的結構質量也在不斷減小，因此科研人員在設計導彈時傾向于一種長度更長、彈徑更小、殼體更薄的設計方案。但這種設計帶來的氣動彈性問題越來越明顯。氣動彈性是指非定常氣動力與導彈結構彈性之間的動力耦合，在飛控系統帶寬設計邊界不斷放寬的條件下，導彈氣動伺服彈性不穩定現象發生概率變大，這種不穩定現象主要體現在對飛行穩定性與操縱性等方面。導彈在飛控系統的作用下，彈上敏感裝置將測量到的彈性振動信息混入姿態角信息中，并將這些混合信息反饋給控制系統，使控制系統輸出誤差控制指令并操縱舵機偏轉，從而改變導彈的氣動力分布，而導彈姿態的改變又會帶來非定常氣動力，這種非定常氣動力又會激勵導彈結構彈性變形發生變化，由此可見，非定常氣動力與結構彈性以及控制系統之間會發生耦合作用。

氣動伺服彈性問題會影響導彈開環擾動頻率特性，惡化導彈的動態品質。這主要是因為彈上的敏感元件使導彈動力學與控制系統發生閉環耦合，當導彈飛行速度達到臨界值后，舵機負載的高頻振蕩可能會導致操縱面顫振，更嚴重時會發生彈體折斷，這對導彈控制是極為不利的，因此在現代大長徑比導彈的設計中，以往的剛體設計控制器不合時宜，需要考慮氣動彈性的影響。國內外學者對此展開研究，提出不同的建模方法并進行分析[1]。樊則文[2]對導彈氣動伺服彈性作了深入研究，楊超[3]等分析了帶有舵面及控制系統的戰術導彈氣動伺服彈性穩定性，但在可控舵面只考慮剛體偏轉。通過對已有的文獻研究發現，大部分文獻在建模方式上采用的是剛柔解耦的方法，并沒有系統的分析方法。因此文中在充分考慮動態耦合的情況下，以某型導彈為研究對象，在綜合考慮導彈剛體模態和彈性體模態的基礎上，對導彈氣動伺服彈性對導彈飛行狀態的影響進行分析。

1 動力學模型

在研究導彈氣動彈性問題時，常將導彈簡化為梁模型，結合梁的彎曲振動理論，從剛性彈體受力分析出發，分析彈體發生彈性變形后受力情況發生的變化，并將這些變化完善到新的動力學模型中。文中采用的慣性坐標系、彈體坐標系、速度坐標系均與文獻[4]中的定義一致，在此僅給出描述彈體變形量的彈性坐標系，定義其原點O位于導彈頭部，Oxs軸與彈體縱軸重合，指向尾部為正，Oys軸位于導彈縱向對稱面內，垂直于Oxs軸，Ozs軸由右手定則確定，如圖1所示。

圖1 彈性參考系

導彈動力學方程建立的方法有多種，通常在研究剛體導彈時，采用牛頓第二定律或達朗貝爾原理就可以方便地建立導彈的飛行動力學方程。但對于考慮彈體彈性的導彈，由于導彈內部的質量和彈性分布較為復雜，采用矢量平衡的方法建立方程較為困難，而應用包含能量的標量來建立方程更為方便。因此文中將采用速度變分原理，結合有限元方法，在結構動力學框架下，建立彈性體導彈的動力學方程：

(1)

式中：M、fin、fex、fde分別稱為廣義質量矩陣、廣義慣性力陣、廣義外力陣和廣義變形力陣；v表示廣義速度，包括導彈的質心運動速度，導彈的旋轉角速度和模態速度。可分別表示如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

導彈所受的外力包括空氣動力、推力、重力。可以表示為:

fex=fae+ft+fg

(7)

導彈受到的廣義重力為：

(8)

式中：

(9)

導彈受到的廣義推力可以表示為：

(10)

式中:

(11)

式中:

(12)

式中：下標t表示導彈推力作用點處相對應的量，Pt表示發動機推力。

導彈所受到的廣義空氣動力可以表示為：

(13)

式中:

(14)

若不考慮由于彈性振動引起的非定常氣動力，此時，式(14)中:

(15)

(16)

以上兩式中，S為導彈的參考面積，b為導彈的參考長度，cA表示軸向力系數，cN表示法向力，cZ表示側向力系數，mxb、myb、mzb分別表示彈體坐標系3個坐標軸方向的力矩系數。氣動系數cA、cN、cZ、mxb、myb、mzb是攻角α、側滑角β、馬赫數Ma和控制舵偏角δz的函數，可通過氣動參數表插值(Datcom軟件)計算得到，動壓Q、攻角α和側滑角β的計算與參考文獻[1]中的計算方式一致，其計算公式如下：

(17)

(18)

(19)

式中：ρa為導彈所處高度空氣密度；Vm為氣流相對于導彈的流速，其矢量表示為：

Vm=V-Vw

(20)

式中:V表示導彈的絕對速度矢量;Vw表示陣風速度矢量，其矩陣表示形式為：

(21)

由以上推導得到氣流相對于導彈的流速為：

(22)

上述推導過程是假設導彈在飛行過程中受到的空氣動力與模態變量無關的定常氣動力。事實上，由于彈性振動的存在，導彈存在正常攻角和側滑角的情況下，也會引起附加攻角和側滑角，這就使導彈產生附加的氣動力和氣動力矩，也就是文中要研究的氣動彈性問題。

大長徑比導彈受到的非定常氣動力可以按照細長體理論進行計算[5]：

(23)

式中：ma表示單位長度上等體積的氣體質量，va表示氣體在該方向上的流動速度，其具體表達式為：

ma=ρas(x)

(24)

(25)

式中：s(x)為導彈橫截面積，u(x,t)為導彈的彈性變形位移量。運用變量分離法，將彈性位移變形量分別對時間和位置求導，將式(24)和式(25)代入式(23)中可得：

(26)

由于彈性變形會造成附加攻角和側滑角，因此在操縱舵面和彈翼上，彈性變形產生的附加攻角和側滑角的表達式如下：

(27)

(28)

將附加氣動力表示為列陣形式：

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

故而在考慮氣動彈性的情況下，前述推導的廣義氣動力可以表示為：

(34)

式中：(Φ(w))T表示彈翼所處位置的模態振型平動分量的轉置；(Φ(p))T表示舵面所處位置的模態振型的平動分量的轉置。

與此同時，彈性變形對推力的作用也會有影響，推力始終沿著縱軸方向，但是當彈體由于橫向振動發生變形時，推力不再沿著縱軸方向，此時推力會產生橫向分量，以彈體坐標系y向為例，具體表現是，橫向振動使得推力作用點和作用線發生變化，根據模態分析法得到推力作用點的y向位移為：

(35)

式中：xr為推力作用點處的坐標，其余變量定義與前述一致。考慮到對振型變量求導得到推力作用點處的轉動角位移是一個小量，對附加推力計算幾乎不起作用，故在此略去。同理對彈體坐標系z軸方向進行分析，化簡得到：

(36)

從式(34)可以看出，推力附加項產生的本質是在彈體發生彈性變形后，推力在垂直于縱軸方向產生的投影量，將附加的推力項對質心取力矩，可得推力附加引起的附加力矩：

(37)

綜上可得到考慮氣動彈性的彈性體導彈動力學方程為：

(38)

式中:κ1～κ5、Κ1～Κ5均為常值轉換矩陣，為了簡化仿真流程，解決仿真計算量大的缺陷而使用，由于篇幅原因，這里不詳細敘述。為與剛體導彈作對比，給出剛體導彈動力學方程：

(39)

2 控制方法

導彈在空氣中飛行時，其控制力是由空氣舵偏轉產生的。所以控制方程的不同，導彈的彈道也就不同。文中內回路采用過載自動駕駛儀，初始階段為無控階段，其后選用比例導引進行制導。算例選取與目標的運動特性有關，為突出研究目的，對目標運動規律進行簡化處理，只考慮目標質心的運動，目標運動方程如下：

(40)

過載自動駕駛儀的結構圖如圖2所示，由加速度主反饋回路和角速度阻尼回路構成。

圖2 自動駕駛儀結構

導彈的導引方程為[6]：

(41)

式中:ac表示輸入指令，ay表示導彈的法向加速度。當采用比例導引法時，輸入指令具體形式為：

(42)

式中:σ表示目標視線角，且有

(43)

則目標視線旋轉角速度可表示為：

(44)

此時導彈的飛行速度可以表示為：

(45)

目標的運動速度可以表示為：

(46)

導彈的彈道傾角可以表示為：

(47)

考慮到彈性振動對于測量信號的影響，控制器收到的控制信號中夾雜了包括彈性振動引起的干擾量，因此對前述自動駕駛儀的輸入信號加以修正得到：

(48)

(49)

式中:Φb,py為敏感元件安裝位置在y方向的振型。綜上所述，考慮彈性影響的導彈導引方程應為如下形式：

(50)

3 仿真設計

3.1 算例

本部分首先利用MSC.Patran建立導彈的有限元模型，由于導彈為細長體，導彈的模型可以簡化為變截面梁模型，經有限元計算，導彈的前三階頻率依次為12.9 Hz、33.8 Hz、57.6 Hz，并得到導彈的縮放模態振型向量，在彈體縱向對稱面內對應的模態振型圖如圖3所示。

圖3 前三階彎曲模態振型圖

利用Matlab編制仿真程序，求解上述動力學方程，完成對考慮氣動彈性的彈性體導彈動力學模型和剛體導彈動力學模型的求解，程序中包括了導彈的兩種動力學模型、目標的運動方程、控制方程、初始數據和數值積分方法，本算例采用的數值積分方法是四階龍格庫塔法，選取積分步長時，保證計算積分不出現發散的情況。本算例中，導彈初始發射角為30°，初始速度為20 m/s，其他初始條件均假設為0。目標以初始速度200 m/s在2 000 m高空運動，由圖3分析假設彈上的敏感元件在彈身中部位置。導彈的基本參數如表1所示。

表1 某地空導彈的基本參數

3.2 仿真流程

文中設計的仿真程序流程如圖4所示。

圖4 仿真程序流程

作為比對，先對剛性導彈進行仿真，得到導彈的運動曲線如圖5～圖8。

圖5 剛體導彈的彈道曲線

圖6 剛體導彈的速度變化曲線

圖7 剛體導彈的俯仰角變化曲線

圖8 剛體導彈的俯仰角速度曲線

從上述曲線可以看出，當把導彈作為剛體時，導彈在大約12.4 s擊中目標，導彈末速度為668.5 m/s，擊中目標時導彈的俯仰角在13°左右，滿足擊中條件。

當考慮氣動彈性時，在程序中切換程序模式，選擇模型為考慮氣動彈性的模型。對考慮氣動彈性的彈性體導彈進行仿真，將得到的仿真結果與只考慮剛體模型情況下作直觀的對比，得到仿真曲線如圖9～圖15。

4 仿真結果分析

根據上面的仿真結果，對比考慮氣動彈性的彈性體導彈和剛體導彈的飛行參數可以看出，在圖9的彈道對比曲線中，可以看出兩組彈道在末時刻相差約25 m，相比于彈徑來說，大致是彈徑的100倍左右；在圖10的速度曲線對比中，二者末時刻速度相差大約20 m/s，從圖11和圖12的變化曲線可以看到，當導彈末速度達到660 m/s時，導彈的俯仰角和俯仰角速度發生劇烈變化，說明此時在氣動彈性的影響下，測量誤差發生極大變化，導彈出現嚴重顫振，這對導彈的飛行是極為不利的，這是需要在后續控制系統設計時需加以改進來避免的問題。圖13～圖14也很好的驗證了這一現象，對于考慮氣動伺服彈性的導彈，導彈在末時刻發生了嚴重的變形，彈身振動十分劇烈，并且導彈頭部和尾部的變形量是導彈中部變形量的10～20倍，這對以后的研究有一定的啟發意義，即可以考慮將敏感裝置安置在變形較小的位置，用來減弱彈性振動對導彈飛行狀態的影響。

圖9 彈道曲線對比

圖10 速度曲線對比

圖11 俯仰角曲線對比

圖12 俯仰角速度曲線對比

圖13 彈體頭部變形量曲線

圖14 彈體中部變形量曲線

圖15 彈體尾部變形量曲線

5 結論

從仿真結果可知， 氣動伺服彈性對導彈飛行狀態有顯著的影響，彈體發生變形后，推力偏心的作用對控制系統的影響較大，推力偏心項在縱向對稱面內的分量會對導彈受力產生影響，這種現象在建模時不應該被忽視。考慮氣動伺服彈性的影響時，仿真結果表明，彈性振動對導彈彈道與速度和俯仰角的影響相對較小，而對俯仰角速度影響較大。通過上述仿真結果可以得到如下結論：

1)彈性振動引起的推力偏心對導彈影響在動力學建模時需要考慮。

2)彈性振動引起的測量誤差被彈上敏感元件測量并給回到控制系統中，控制系統給出“錯誤”的控制輸出會激勵這種誤差越來越大，即氣動伺服彈性的存在會對導彈飛行狀態產生很大的影響，導彈飛行速度達到大約2Ma時，可以看到彈身發生了嚴重的變形量，如果這種影響長時間存在的話，嚴重時會導致彈身折斷。

3)在之后的研究中，可以通過考慮對控制系統進行改進，運用現代控制理論避免發生嚴重的彈性振動。

4)當導彈命中精度要求很高時，彈性振動引起的非定常氣動力不能被忽視，因為這會導致彈道產生誤差，對導彈精度產生影響。