局部低秩提升法MIMO雷達成像*

胡仁榮，童寧寧，何興宇，陳 橋

(空軍工程大學防空反導學院，西安 710051)

0 引言

MIMO成像是近年來國內外研究的熱點，成像時通過多陣元發射、多陣元接收的形式來滿足空間采樣的需要，將壓縮感知技術應用于MIMO成像，可大幅提升雷達成像分辨率。將壓縮感知理論應用于雷達成像需要解決信號的稀疏表示、測量矩陣的設計和重構算法三大關鍵技術。傳統的算法比如基追蹤算法、貪婪算法等，能對傳統稀疏信號實現高效的重構。然而傳統基于壓縮感知的MIMO雷達成像都是將目標考慮為點目標進行成像，可能無法真實反映目標的真實結構尺寸等信息，這是由于目標連續區域的回波信號往往會表現出塊稀疏結構特性[1]，基于塊稀疏恢復理論的MIMO雷達成像可更好的重構恢復目標像，進一步反映目標的真實信息。許多學者針對其特殊的結構，提出塊稀疏算法。文獻[2]提出塊正交匹配追蹤算法；文獻[3]提出l2/l1范數最小化算法；文獻[4]提出了具有模式耦合思想的PCSBL算法(pattern-coupled sparse bayesian learning)；文獻[5]提出了局部低秩提升(localized low-rank promoting，LOOP)算法，根據回波信號塊局部結構平滑現象所表達的內在結構系數的相關性，將目標稀疏回波信號的連續系數劃分為多個2×2維矩陣，通過局部低秩提升函數和對數行列式函數等工具，利用最小優化算法實現對稀疏信號的高效重構。

文中引入局部低秩提升LOOP算法，并將其應用到MIMO雷達成像中，充分挖掘目標回波信號的低秩和塊稀疏結構特性，實現了對MIMO雷達目標像的高質量重構。

1 MIMO線陣回波模型

圖1 MIMO雷達陣列模型示意圖

建立MIMO陣列信號回波模型。如圖1中均勻線陣組成是It個發射陣元和Mr個接收陣元。間距分別為dt和dr。三維坐標系的原點是第一個發射陣元，X-Y平面與陣列對應，其中發射陣為Y軸。第i個發射陣元的位置用Ti表示，第m個接收陣元位置用Rm表示，坐標原點是T0。

(1)

式中:T為信號子脈沖長度；fc為信號載頻。不同發射信號之間相互正交，即

(2)

第m個接收陣元的回波信號，是第i個發射陣元的信號被目標散射中心P散射后經過匹配濾波分離的信號，可表示為:

(3)

式中：發射波形的自相關函數是αi(t)；延時是τp,i,m=(TiP+PRm)/c；第i個發射陣元到散射中心P的距離為TiP和第m個接收陣元到散射中心P的距離為PRm。

指定目標散射中心O為參考點且O為相對坐標系的原點，P點在該相對坐標系中的坐標為(Px,Py)，那么目標運動不會改變坐標(Px,Py)。因此式(3)可近似為:

(4)

式中：相位中心參考點為O，發射信號的波長為λ，回波信號經過相位補償后可表示為：

(5)

由文獻[7]和文獻[8]中的引理進行推導，可得到具有D個散射中心的目標回波信號為:

(6)

式中:σp=ζp(-j2π(OP)T(T0O/T0O+OR0/OR0)/λ)，(xp,yp)為包含目標散射中心P的位置信息(Px,Py)的位置參數。

2 局部低秩提升算法

2.1 MIMO成像算法評價方法

衡量各個算法的成像性能時，應采用定性和定量分析相結合的辦法，既要觀察成像結果是否反映目標真實信息，還要對成像結果相接近的進行定量分析，可以采用圖像熵(image entropy, IE)和圖像對比度兩個指標進一步定量分析成像效果。兩個指標定義為：

(7)

(8)

式中：目標圖像用I表示，和值用Sum{·}表示，圖像中元素值平均值用Ave{·}表示。IE和IC值均反映圖像中目標的聚集特征，熵值IE越低，對比度IC越高，代表著成像性能越好。

2.2 局部低秩信號模型

結合MIMO雷達實際成像場景，考慮一個塊稀疏信號x∈RM×1恢復問題。

y=Ax+w

(9)

圖2 矩陣X轉置示意圖

定義Xi(1≤i≤N)為2×2維矩陣，由矩陣X的第i行和第(i+1)行構成，則

(10)

顯然，如果xi-1、xi和xi+1是非0且局部平滑的，則是一個近似秩為1的矩陣。通過觀察圖2這個模型可以發現，通過提高矩陣Xi的低秩性來尋求塊稀疏和局部平滑的解x。更精確的說，這個問題可以描述為：

(11)

(12)

式中：E是一個正定矩陣，用來確保對數函數滿足定義。因此可以將E設置為：

(13)

式中：δ為一個非常小的正數，κ(-1<κ<1)為一個參數，則式(12)可最終表示為一個沒有約束條件的優化問題。

(14)

式中：λ為控制低秩和適應誤差的權衡參數。

(15)

(16)

令θi表示兩個矢量[xi-1,xi]T和[xi,xi+1]T的夾角，則式(16)的第二項可以表示為:

log(1-cos2θi)=2log|sinθi|

(17)

因此

(18)

式(18)中的右邊的第一項表示交叉系數的對數和函數，用來促進塊稀疏化的求解。式(16)中的第二項傾向于|sinθi|值較小的解，從而可能實現解的局部平滑。

2.3 迭代加權算法

利用文獻[9]提出最小優化(majorization-minimization，MM)算法，通過迭代最小化目標函數的上界來求解。文獻[7]和文獻[8]表明對數行列式函數的代理函數為:

(20)

令

(21)

把式(10)和式(21)代入式(20)得:

(22)

最后，使式(14)中的目標函數具體化的代理函數可表示為:

(23)

因此，優化式(14)可以通過迭代最小化式(23)來代替，式(20)的最優解為：

x=(ATA+λ-1W)-1ATy

(24)

通過迭代最小化Q(x|x(t))，能保證目標函數L(x)在每次迭代過程中不遞增。

歸納上述分析過程，總結出基于LOOP算法的MIMO雷達成像流程如下：

輸入：觀測信號y，感知矩陣A以及參數λ和κ；

輸出：雷達信號x。

1)給出一個初始雷達信號x(0)，并且設置t=0；

2)當未達到收斂條件時，循環；

4)計算新的稀疏雷達估計信號，記為x(t+1)；

6)δ(t+1)=δ(t)/10；

7)停止迭代，否則

8)t=t+1；

9)結束循環。

3 仿真與結果分析

MIMO陣列排布如圖1所示。仿真目標的點散射模型如圖3所示，目標質心O(0,0,20 000)，單位m。設發射天線It=4個，陣元間距為dt=12 m，接收天線Mr=25個，接收天線間距為dr=12 m。雷達發射信號的載波頻率為10 GHz，雷達采樣頻率為5 GHz，發射信號采用4個正交性和接收正交分離性均較好的正負LFM信號，以發射陣列第一個陣元T0作為測量坐標系的坐標原點，以參考相位中心點O為相對坐標系原點。

圖3 散射點模型

圖4是包括LOOP算法在內的各種算法對目標模型的成像效果。

圖4 各算法成像效果圖

分別計算圖4中各算法成像圖的IE和IC值，可得

IEFFT=5.291 5，IEOMP=5.423 5，IESBL=3.713 7，IELOOP=5.193 9;

ICFFT=7.664 7，ICOMP=7.653 2，ICSBL=7.433 7，ICLOOP=7.703 2。

通過對比分析可以發現，基于LOOP算法的MIMO雷達成像方法較傳統的壓縮感知算法能更好的實現目標像的重構。

4 結論

傳統的壓縮感知算法往往無法實現塊稀疏信號重構，應用到MIMO成像時會影響精度，從而無法較精確的反應目標的真實信息，文中通過局部低秩提升算法挖掘MIMO雷達回波信號的塊稀疏特性，進而實現MIMO雷達目標像的高質量重構。