Korteweg-de Vries方程的守恒緊致有限差分格式

何育宇,王曉峰,陸 東,鄧雅清

（閩南師范大學數學與統計學院,福建漳州363000）

Korteweg-de Vries(KdV)方程是描述單向運動的淺水波偏微分方程,是非線性色散方程的典型代表,但是對于求解非線性KdV 方程的特解是非常困難的.對于非線性KdV 方程的有限差分方法的研究目前已經有了許多的工作.盛秀蘭[1]和王爽[2]基于Crank-Nicolson方法對周期邊界問題建立一種兩層線性化隱式差分格式,在時間和空間步長上均是二階的;李家永[3]對定界問題構造了二階三層的差分格式,并對非線性項進行線性化;王文洽[4]和曲富麗[5]提出一種新的非對稱差分公式,結合對稱的Crank-Nicolson 方法設計出一類并行交替分段差分格式,由Kellogg 引理知是此差分格式絕對穩定的;Jan 等[6]提出一類基于Chebyshev 多項式的配點法,數值結果驗證了Chebyshev 方法的有效性,但穩定性的證明較為困難;Zhu[7]提出了一類無條件線性穩定的高階不變分格式,其截斷誤差O(τ + h2).

考慮一維三階的非線性KdV方程

其中α 和β 是任意實數,-xL?0 和xR?0,u0(x)是已知的光滑函數.首先利用緊致算子建立三層線性緊致差分格式, 在時間和空間上分別是二階和四階的;第二節證明所建立的緊致差分格式的守恒性;第三節利用Von Neumann 穩定性分析法證明差分格式是絕對穩定的;最后給出了數值例子,數值結果驗證了理論分析的可靠性.

1 緊致差分格式的構造

引入4階緊致差分算子[8]：

則有

此外設方程(1)-(3)在節點(xj,tn)處的精確解為Unj= u(xj,tn),數值解為unj≈u(xj,tn).

應用Taylor展開及作用上述的緊致差分算子,可以建立如下緊致差分格……