具有開點拓撲的函數空間上的基數函數

陳結文，張 靜

（閩南師范大學數學與統計學院,福建漳州363000）

對于完全正則空間X 和實空間?,記C(X)是從X 到? 的全體實值連續函數的集合.在C(X)上賦予兩種集開拓撲是點開拓撲p 和緊開拓撲k 分別記為Cp(X)[1]和Ck(X)[2].點開拓撲是熟知的點態收斂拓撲,關于空間Cp(X)的拓撲性質可參考文獻[1].1945年,Fox在文獻[2]中引入緊開拓撲,之后不久由Arens[3]與Arens等[4]深入研究.拓撲化C(X)的思想來源于函數序列的收斂性.在定義C(X)上的集開拓撲時,只考慮了X 的某一子集族和? 的開子集.2015 年,Jinal等[5]采用了一種完全不同的方法定義C(X)上的集開拓撲,他們又從X 和? 在構建C(X)上拓撲時發揮同等重要的作用出發,建立了C(X)上的開集拓撲以及C(X)上集開拓撲和開集拓撲的組合.

眾所周知,在C(X)上賦予點開拓撲Cp(X),它的子基元形如

其中x ∈X,V 是? 的開集.文獻[5]主要介紹在C(X)上定義兩種不同于點開拓撲Cp(X)的拓撲分別是開點拓撲和雙點開拓撲.Ch(X)上開點拓撲的子基元形如

其中U 是X的開集,r ∈?.記h是C(X)上開點拓撲且記Ch(X)是集合C(X)上賦予開點拓撲的拓撲空間.C(X)上雙點開拓撲是點開拓撲p 和開點拓撲h 的組合,也就是,它的拓撲子基元形如[x,V ]+或[U,r]-，其中x ∈X,V 是? 的開集,U 是X 的開集,r ∈?.記Cph(X)是空間C(X)賦予雙點開拓撲ph,而Cph(X)是由恒等映射id1:C(X)→CP(X)和id2:C(X)→Ch(X)誘導的作為C(X)上更細的拓撲.

Jinal 等[5]首先刻畫了兩種新的拓撲空間需要的基本性質，研究了Ch(X)和Cph(X)的分離性、可度量性、第一可數性與可分性.Jinal等[6]考慮了兩種拓撲的次可度量化性質和基數函數,如extent,胞腔度,權重,π權,偽特征,特征和tightness等.

文獻[5]證明了Ch(X)在常值零函數處有可……