隨機矩陣α-型和Brauer-型特征值包含區域及其應用

杜爍玉，李耀堂

（云南大學數學與統計學院，云南昆明650000）

1 預備知識

隨機矩陣是非負矩陣的一個子類，在計算機輔助幾何設計和馬爾可夫鏈等方面有著廣泛的應用，特別是隨機矩陣譜隙的估計對馬爾可夫鏈的研究和應用有著重要作用［1-5］.近年來隨機矩陣在生物工程、金融工程和無線通信等領域的應用也取得了重要的進展［6-8］.隨機矩陣在這些方面的廣泛應用，很多都與隨機矩陣的非1特征值有關，因此，研究隨機矩陣的非1特征值具有重要意義.關于矩陣特征值的定位已有很多重要的研究成果，如Gersgorin圓盤定理、Brauer卵形定理、Brualdi定理、α-型特征值包含定理［9-14］等.人們當然可以利用這些經典的定理去定位隨機矩陣的特征值，但因為所得的隨機矩陣特征值定位集都包含隨機矩陣的平凡特征值1，從而使得對隨機矩陣非1特征值的定位往往不夠精確.為了解決這一問題，Cvetkovic等［9］提出了修正矩陣的概念并用其研究隨機矩陣非1特征值的定位，這為隨機矩陣非1特征值定位研究開辟了新途徑.

定理 1.1［9］設A＝［aij］∈Rn×n為隨機矩陣，

d＝［d1，d2，…，dn］T∈Rn.

若λ∈σ（A）＼｛1｝，則λ為修正矩陣B＝A-edT的特征值.因而如果B是非奇異的，則A也是非奇異的，這里σ（A）為矩陣A的譜.

Li等［11］應用修正矩陣理論，改進了文獻［9］所給的隨機矩陣非1特征值包含定理，得到了如下2個隨機矩陣非1特征值更精確的包含區域.

定理 1.2［11］設A＝［aij］∈Rn×n為隨機矩陣，如果λ∈σ（A）＼｛1｝，則有

2 隨機矩陣2個新的非1特征值包含區域

應用修正矩陣理論與矩陣的α-型特征值包含定理和Brauer-型特征值包含定理研究隨機矩陣非1特征值包含區域.為此，先給出如下定理.

下面用幾個具體的數值例子來說明在某些情況下本文所獲得的特征值包含區域更精確且能用其更好地估計隨機矩陣的譜隙.

定義 2.1［15］設A＝［aij］∈Rn×n為隨機矩陣，稱數為隨機矩陣A的譜隙.

隨機矩陣譜隙的值反映了隨機矩陣所決定的Markov鏈的收斂速度，其對應的特征向量則對應Markov鏈在極限狀態下的“平穩分布”.因此，譜隙和其對應的特征向量刻畫了Markov鏈的極限行為，對馬爾可夫鏈的研究和應用有著重要作用.

例2.1為了便于比較定理2.3和定理1.2、定理1.3中所得的包含區域，取定α＝0.6，β＝4.考慮隨機矩陣

圖1中*號表示矩陣C1的特征值，Λ（0.6，4）（C1）表示α＝0.6，β＝4時的特征值包含區域Λ（α，β）（A），顯然Λ（C1）是它的子集.圖1說明Λ（C1）?Bstol（C1）?Γstol（C1）.由于Bstol（C1）和Γstol（C1）都包含1，因此，不能用它們來估計隨機矩陣C1的譜隙，但由Λ（C1）可知矩陣C1的譜隙的上界大于0.5.

例2.2為了更好地比較定理2.4和定理1.2、定理1.3中所得的包含區域的大小以及他們在估計隨機矩陣譜隙方面的作用，現取定β＝3，考慮隨機矩陣D1，其比較結果如圖2所示.

圖 1 黑色為Λ（0.6，4）（C1），灰色為Bstol（C1），深灰色為Γstol（C1）Fig.1 The comparison of Λ（0.6，4）（C1），Bstol（C1）and Γstol（C1）

圖2中*號表示矩陣D1的特征值，圖2說明（D1）?Bstol（D1）?Γstol（D1）.由于Bstol（D1）和Γstol（D1）都包含1，因此，不能用它們來估計隨機矩陣D1的譜隙，但由（D1）可知矩陣D1的譜隙的上界大于0.45.

圖2 黑色為（D1），灰色為Bstol（D1），深灰色為Γstol（D1）Fig.2 The comparison of （D1），Bstol（D1）and Γstol（D1）

3 隨機矩陣非奇異的新的充分條件

利用上一節所獲的結果，可以研究隨機矩陣非奇異的充分條件.為此，先給出如下定義和定理.

下面給出幾個數值例子.

例3.1為了驗證定理3.2的結論，取定β＝5，考慮隨機矩陣

此時存在α＝0.6對每個i都有定理3.2中不等式成立，故E1是非奇異的.事實上E1的特征值為

顯然0不在其中，故E1確實是非奇異的.

例3.2為了驗證定理3.3的結論，取定β＝7，考慮隨機矩陣

此時對每個i都有定理3.3中不等式成立，故F1是非奇異的.事實上F1的特征值有

顯然0不在其中，故F1確實是非奇異的.