數學建模競賽培訓和數學建模課程設計探討

摘 ? 要：隨著計算機技術的迅速發展，數學的應用不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且在經濟、管理、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等新領域都有廣泛的應用。數學要應用于工程領域就離不開數學建模。數學建模作為一門理論聯系實際的課程，已經普遍在全國高等學校中開設。重點對數學建模競賽培訓和課程教學實踐過程進行總結和探討，涵蓋課程目標、課程設計、教學方式等。

關鍵詞：數學建模;課程設計;教學方式

隨著計算機技術的迅速發展，數學的應用不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且在經濟、管理、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等新領域都有廣泛的應用。

在解決實際問題方面，數學建模就是關鍵一環。數學建模根據實際問題來建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言作表述來建立數學模型。

數學建模作為一門理論聯系實際的課程，已經普遍在全國高等學校中開設。目前，福建江夏學院結合數學建模競賽培訓，將數學建模作為一門公共選修課，開展課程教學。本課題重點對數學建模競賽培訓和課程教學實踐過程進行總結和探討，涵蓋課程目標、課程設計、教學方式。

1 ? ?數學建模實例分析—以2019高教社杯全國大學生數學建模競賽A題為例

1.1 ?問題分析

A題是根據柴油機工作過程設計給出的，完整題目詳見全國大學生數學建模競賽（CUMCM）網站上“高壓油管的壓力控制”[1]。在工作過程中，為了保持壓力和噴油量的穩定，必須建立數學模型和設計算法來確定從高壓油泵進入高壓油管和從高壓油管噴出的燃油量，從而確定單向閥的開啟時長、凸輪的轉速、減壓閥的控制策略，并通過高壓油管內壓力隨時間的變化來展示所得結果的合理性。

1.2 ?模型建立和求解

對于A題中的第一個問題，根據題目所提供的數據給出燃油密度隨壓力變化的函數關系式。在固定單向閥開啟時長的情況下，給出高壓油管內壓力和密度隨時間變化的模型或算法。給出壓力穩定在100 MPa和壓力從100 MPa增加到150 MPa時以及壓力穩定在150 MPa時的模型或算法、單向閥開啟時長和3種時間里的調整優化策略。求解流程如圖1所示。

對于A題中的第2個問題，進入高壓油管的燃油量由凸輪柱塞腔和高壓油管的壓力差決定，從噴油嘴噴出的燃油量由高壓油管內的壓力決定，高壓油管內的壓力由進入和噴出的燃油量決定。在固定凸輪轉速的情況下，給出凸輪柱塞腔內和高壓油管內壓力和密度隨時間變化的模型和算法。最后，給出保持穩定壓力和優化凸輪轉速的模型和結果。求解流程如圖2所示。

對于A題中的第3個問題，當有兩個噴油嘴時，在模型和算法中明確指出每個噴油嘴開始噴油的時間，給出凸輪轉速的最優模型和計算結果。當考慮減壓閥時，給出減壓閥開啟時間和凸輪轉速的優化策略。

從建模實例來看，數學建模需要具備問題分析的能力、快速學習的能力[2]，需要一定的數學基礎，需要邏輯論證的能力，如何通過合理的課程內容設計和課程教學設計來培養學生的這些能力，是數學建模課程設計需要重點考慮的問題。

2 ? ?課程目標

2.1 ?培養學生對問題抽象、簡化和提出問題、建立模型的能力

數學建模是將實際問題中的因素進行簡化、抽象變成數學中的參數和變量，運用數學理論進行求解和驗證，并確定最終是否能夠用于解決問題的多次循環。因此，數學建模課程，需要培養學生對問題的抽象、簡化和提出問題，并建立數學模型的能力。數學建模能力包括轉化能力、數學知識應用能力、創造力和溝通與合作能力。數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題。

2.2 ?提升數學論文寫作能力

論文，是探討問題、描述研究成果的一種手段。無論是理論研究還是技術研究，成果要進行展示，基本都要寫成論文或研究報告，數學建模也一樣。最后，學生要通過一篇邏輯清晰、結構合理、論述完整的論文，展示數學建模成果，展示解決實際問題的結果。因此，論文的寫作能力是一項重要基礎能力。在數據建模課程中，要對學生論文寫作進行訓練，提升學生的論文寫作能力。

數學論文，注重定義、定理的推導和證明。數學論文的寫作過程，要體現嚴密的邏輯，語言要簡潔，符號定義要有廣泛的普適性。因此，課程需要對數學論文的寫作規范、論文的格式、論文的組織進行基礎的培訓和訓練。

3 ? ?教學設計

3.1 ?數學基礎訓練

數學建模沒有統一的方法和模式，但存在一些基本方法，教學中要對學生進行基礎的訓練，讓學生掌握這些基本的建模方式，將有效提升其建模能力。在教學過程中，要把握好難度，采取漸進式教學，在初期，主要讓學生掌握數學建模的基本步驟和方法，學會對具體問題進行分析、抽象，對數據進行采集、分析，判斷數據間的關聯關系，形成初步建立、應用數學模型的意識。基礎的建模方法，如關系分析法、數據分析法、圖標分析法、類比法等均為基礎的方法。另外，還要關注一些依托數學基礎理論的建模方法，例如微分建模方法、積分建模方法、統計建模方法、線性規劃建模方法等。要讓學生建立起對數學建模的基本認知，對常見的數學模型有所了解，并學會運用基礎的建模方法。

3.2 ?案例教學

為提升學生的實戰能力，福建江夏學院每年會組織數學基礎較好的學生進行數學建模集訓，一般在暑假進行。學生通過學校的數學建模選修課，對數學建模的理論、基礎方法、常見數學模型有一定的認知后，在數學建模集訓階段，建議以范例教學為主，使用以往全國大學生數學建模競賽真題來進行訓練，主要訓練學生使用數學軟件能力和寫作能力。以獲獎優秀論文為范例，進行解析教學，對論文進行剖析和點評，提高學生的寫作能力。

3.3 ?翻轉課堂

學生完成基礎理論的學習并接受一定的建模訓練后，可在培訓的最后階段采用翻轉課堂的教學形式，活躍課堂氣氛，提高學生的學習興趣，并在學生自主講解案例的過程中，強化對基礎建模方法的認知，提高基礎建模方法的應用能力[3]。

翻轉課堂改變了傳統的機械式、安排式、灌輸式教學模式，把課堂的主動權交給學生，使學生的學習積極性得到了充分的發揮。學生在課前根據自己的動態需求來安排學習，課后老師精準輔導，有針對性地在課堂答疑解惑，整個教學過程兼顧不同需求層次學生的學情。

3.4 ?“互聯網+”

“互聯網+”主要指借助慕課等網絡資源，在有限的課堂時間里，無限拓展課堂容量，包括師生互動與教學評價。在教學設計中，可以將該課程所需的理論知識和背景資料，以慕課或微課的形式提供給學生，使書面知識立體生動起來[4]。在學生學習過程中，個人興趣可能有不同導向，反映在課堂上就是學生能夠提出帶有個性特征的問題。

4 ? ?問題探討

4.1 ?課程學習和競賽培訓的關系

選修課程的學生，更多是對數學建模競賽感興趣的學生，課程更應該注重于基礎能力的培養，同時，通過舉辦數學建模競賽集訓的方式，來提升學生的競賽技能。競賽集訓需要更多關注數學建模軟件的應用、論文的寫作技能等。通過此類課程的銜接，把數學建模思想、數學建模理論、數學建模競賽培訓和參加數學建模競賽聯動起來，形成了一個相互促進、相互補益的有機體[5]。

4.2 ?問題分析的過程和結果的關系

進入21世紀以來，創新意識已深入人心，培養創新思維也是舉辦全國大學生數學建模競賽的初衷。創新能力因人而異，但數學能力卻是衡量一個人的數理邏輯水平的最好表述，不是一朝一夕能夠養成的，需要在長期的鍛煉中慢慢積累、沉淀和升華[6]。只有在分析問題的過程中百般求索，在得出結果時精益求精，數學能力才能得到精煉，才能迸射出創新的火花。

[參考文獻]

[1]中國工業與應用數學學會.全國大學生數學建模競賽[EB/OL].（2019-09-12）[2020-06-10].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/b0ae8510b9ec0cc0deb2266d2de19ecb.html.

[2]張深林.淺談數學建模中快速學習能力的應用[J].科教文匯，2019（10）：64.

[3]張深林.“翻轉課堂”在“管理運籌學”課程中的應用與實踐[J].科教文匯，2016（4）：81-83.

[4]武幫杰，杜 軒，李浩平，等.基于翻轉課堂理念的“互聯網+”實驗教學模式改革探究[J].科教文匯，2019（10）：73.

[5]楊真真，李 雷，趙洪牛，等.基于數學建模競賽的“六位一體”創新人才培養模式實踐研究[J].實驗室研究與探索，2018（9）：172.

[6]劉法貴，岳紅偉.關于數學建模教育與數學建模競賽的思考[J].華北水利水電大學學報：社會科學版，2019（3）：34-38.