微積分教學中的育人哲理淺析

【摘要】《微積分》是高職院校理工科學生的一門很重要的基礎課，它的內容源于生產、生活中，而且蘊含著豐富的人生哲理。其中，極限思想通過有限認識無限，以不變應萬變，轉化思想可以培養人的靈活思維，實現難以轉換，復雜到簡單的轉換等。在課堂教學中，引入相關的趣味性哲理，可以激發學生學習的興趣，對學生心理的成長、未來的發展，都起到潤物細無聲的效果。

【關鍵詞】微積分 ?哲理 ?啟發

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）17-0238-02

《高等數學》是高職院校所開設的一門公共基礎必修課程，而微積分是該課程的核心內容。微積分中蘊含很多耐人尋味的哲理，課堂教學中給學生引入這些內容，對于激發學生學習興趣，活躍課堂氣氛，有良好的效果。作為數學教師，應努力揭示潛藏在微積分內容背后的道理，讓數學內容趣味化，不但給學生留下深刻的印象，而且達到育人的效果。筆者在教學中經常思考微積分內容后面隱藏的哲理，每次應用到教學中都取得不錯的反響，在本文拋磚引玉，介紹以下八個哲理思想：

1.復合函數中的“嵌套”思想

如果函數y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域與y=f（u）的定義域有交集，則y=f[g（x）]就稱為由y=f（u）與u=g（x）合成的一個復合函數?？梢?，復合函數蘊含著嵌套思想，如果問題中嵌套著問題，則運用此思想可以達到令人驚奇的效果。有這樣一個有趣的事情：一次，美國滑稽大師馬丁·戈登納根據哈佛大學數學教授貝克先生告訴他的辦法，成功地邀請了一位年輕姑娘一起吃晚飯。戈登納對這姑娘說：“我有3個問題，請你對每個問題之用Yes或No回答，不必多做解釋。第一個問題是：你愿意如實地回答我的下面兩個問題嗎？”姑娘答：“Yes！”“很好，”戈登納繼續說：“我的第二個問題是，如果我的第三個問題是‘你愿意和我一道吃晚飯嗎，那么，你對這后兩個問題的答案是不是一致呢？”姑娘不知如何回答是好。因為，如果她回答“Yes”，這自然表明她同意與他一起共進晚餐;但是，如果她回答“No”，說明她對第三個問題的答案與此不同，那就是“Yes”，同樣表明她同意這次約會。戈登納問題的巧妙之處在于，他把第二和第三個問題嵌套在一起，猶如數學中的復合函數。

2.極限中的有限與無限的辯證關系

著名的《莊子》一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭?！睆闹芯涂审w現出我國早期極限思想的認識水平。該句話中由剩余木棒長度形成一個數列“1/2，1/22，1/23，……”，該數列的變化趨勢是無限的趨近于0，從數列中有限的項來發現無限項的一般規律和變化方向，體現從有限發展到無限的思維，再例如《九章算術》中的割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣！”以此方法最終求得圓的面積和圓周率的近似數值。極限的這種思想在微積分的產生中起到基礎作用，另外在經濟中也具有廣泛的應用。比如銀行復利，復利計算次數頻繁、計息周期越短，計算所得的本息和數額就越大，當計算次數無限增大時，利息會不會無限增大呢，利用極限的知識能知道這是不可能的，考慮到通貨膨脹，通過在銀行存款不能致富，甚至不能保值。

3.無窮小與無窮大中的無窮觀

“無窮”又叫“無限”，無窮概念本屬于哲學范疇，哲學把無窮歸因于空間和時間，同時，無窮又是數學不可忽視的重要概念，微積分中的內容多與無窮為伍，如果沒有無窮的概念，就沒有微積分方法。無窮概念在微積分中伴隨著連續、分割、極限、運動、時間、變化等問題而存在，無窮觀念也伴隨著人的一生而發展。其中，無窮小是極限為零的變量，無窮大是變化趨勢為無限大的變量。無窮小與無窮大也蘊含著哲學道理。無知可以描述為：追趕無窮大;智慧概括為：關注無窮小;中庸解釋為：無窮小與無窮大的曲直平衡過程。正所謂：細節決定成敗，狂妄走向滅亡。我們人的生命雖然短暫，但是在有限的時間里可以做出來有無限意義的事情，名垂千秋;我們也不能狂妄自大，一個人在歷史的長河中，在浩瀚無際的宇宙中，又是一個無窮小的形象，無論取得多大的成就，也要懂得謙虛，謙虛使人進步，能促使人取得更大的成就。

4.函數連續與間斷的啟發

函數y=f（x）在點x處的圖像如果是連續不斷開的，我們就說y=f（x）在點x處連續，否則是間斷的。函數在一個點處如果是斷開的，則不能滿足該點處的極限值等于在該點處的函數值。正如我們在生活或學習、工作中確定一目標，努力了很久，才發現由于自己考慮不足，最終不得不放棄。人生的痛苦在于追求錯誤的東西，所謂追求錯誤的東西，就是你在無限趨近于它的時候，才猛然發現，你和它是不連續的。

5.函數f（x）=ex的導數的啟示

函數f（x）=ex，該函數關于x的導數仍為ex，所以不論對其求幾次導數，都保持不變，仍為ex。我們曾有多少的理想和承諾，在經歷幾次求導的考驗之后就面目全非甚至蕩然無存？有沒有那么一個誓言，叫作f（x）=ex？在上課時，每次講到這個內容，學生們都對ex產生一種敬佩之情，數學中的函數也變得可愛起來。

6.函數的單調性與極值的人生啟迪

函數y=f（x）若在點x的附近取得最大值則稱在該點處取得極大值，函數y=f（x）若在點x的附近取得最小值則稱在該點處取得極小值。在極大值點處的左邊，函數圖像都是單調增加，極小值點的左邊，函數圖像都是單調減少的。所以，在學習或工作中我們要保持積極向上的態度，勇于進取，取得進步，才有可能取得人生的一個個小高峰。當然，如果處在人生的低谷時，也不要灰心喪氣，只要努力爭上游，人生也會有起色。當一個人取得成功時，也不要得意忘形，否則很容易下滑至較低的狀態。正所謂“勝不驕，敗不餒”，就是單調性和極值的啟發。

7.函數凹凸性中的邊際效用遞減法則

微積分中常見到凸增的函數圖像，函數雖然是遞增的，但曲線在向上延伸時逐漸變得平緩。以大學學習生活為例：當一個人下定決心去做某事，他起初總是信心滿滿，勁頭十足，會為每天的進步而欣喜，然而一段時間之后，緩慢的、微小的進步已不能使他感到振奮，以至于行動上也有所懈怠，甚至最終不了了之。許多人始終在這樣的怪圈里打轉，這是怎么回事呢？在經濟學中為著名的邊際效用遞減法則。所以在遇到這種情況，只需堅持，雖然進步感降低，但是仍在前進。

8.微分、積分概念的“化整為零、積零為整”、“近似代替”的思想

微積分包括微分和積分，微是“細微”，微分就是無限細分，積是累積即求和，而不是乘積，積分就是無限求和。大的復雜的不規則的圖形不好研究，就利用微分思想將其分割成若干個小的簡單的近似規則的圖形，分開研究，逐個擊破，再利用積分思想將其整合成原始圖形，以此達到研究大的不規則圖形的目的。聯系到生活中比較大的困難，可以分解成小步驟，逐個解決。這種近似代替的思想，在微分中的以直代曲中也有應用。

微積分不僅是一門知識體系，它還是一種思想文化。在教學中引領學生進行哲理性的思考，會使數學的價值從技術工具系統走向人文精神層面，進而能促進學生對數學理性的崇敬與追求。微積分數學知識的哲理性不僅有趣味性，而且還有數學所特有的思維方式，在課堂教學中融入哲理的思想，有助于培養其辯證思維的能力，將數學的精神內涵應用到實際問題中。

參考文獻：

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作者簡介：

王俊華（1984.5-），女，漢族，河南省項城市人，碩士研究生，高校講師，研究方向：數學。