一般齊次核Hardy-Mulholland型不等式

黃啟亮，楊必成，王愛珍

（廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東廣州510303）

0 引 言

當(dāng)p=q=2時(shí)，式(1)變成著名的 Hilbert不等式。在相同條件下，還有以下具有相同最佳常數(shù)因子不等式(參閱文獻(xiàn)[1]定理343，置換am(bn)為mam(nbn)):

則有以下Hardy-Hilbert型不等式(參閱文獻(xiàn)[1]定理321，置換 am(bn)為 μ-1/qmam(ν-1/pnbn)):

當(dāng) μi,νj≡ 1(i,j∈ N)時(shí)，不等式(4)變?yōu)槭?1)。

關(guān)于式(1)及式(2)的推廣應(yīng)用，相關(guān)成果頗豐[2-6]。文獻(xiàn)[7-9]給出了式(4)的引入?yún)⒘康耐茝V及加強(qiáng)形式。洪勇等[10]考慮了式(1)在一般齊次核推廣形式下最佳常數(shù)因子聯(lián)系參數(shù)的一個(gè)充分必要條件。其他涉及積分及半離散的類似工作可參閱文獻(xiàn)[11-15]。

參考文獻(xiàn)[10]的工作及類比式(3)和式(4)，筆者運(yùn)用實(shí)分析技巧、權(quán)函數(shù)方法及參量化思想，給出一個(gè)含多參數(shù)的一般齊次核Hardy-Mulholland型不等式(見引理2)，此為式(2)的推廣，并討論其常數(shù)因子取最佳值時(shí)的聯(lián)系參數(shù)的等價(jià)陳述(見定理2)，還導(dǎo)出了若干應(yīng)用特例(見注3及例1)。

1 權(quán)系數(shù)不等式

引理1定義權(quán)系數(shù):

有以下不等式:

則有

因 V(y)在 (n-1,n](n∈N)嚴(yán)格遞增，對(duì)于 λ2-y∈(n-1,n](n∈N{1})嚴(yán)格遞減。由遞減性質(zhì)(參閱文獻(xiàn)[7]引理 1)，有

故式(8)成立。

2 引理及主要結(jié)果

證明任給ε＞0，置

若用正常數(shù) M（M ≤kλ(λ1)）置換式(12)中的常數(shù)因子 kλ(λ1)，式(2)仍成立，則有

由μm≥μm+1,νn≥νn+1,遞減性質(zhì)及交換積分次序的Fubini定理[17]，有

令ε→ 0+，由 Fatou引理[17]，有

故 M=kλ(λ1)是式(12)的最佳值。

證畢。

且式(11)右邊變形為類似于式(12)的不等式:

證明若式(11)的常數(shù)因子為最佳值，則由式(14)及式(12)，其唯一的最佳常數(shù)因子必可表示為，即有

若陳述(iv)成立，即λ1+λ2=λ，則式(11)導(dǎo)出具有最佳常數(shù)因子 kλ(λ1)的式(12)。

(iii)當(dāng) p=q=2時(shí),式(15)與式(16)同時(shí)變?yōu)?/p>