化歸思想在三角函數中的應用

謝 川 張 贏

（重慶市長征學校 重慶 400080）

一、數學思想概述

（一）數學思想的涵義

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是對數學事實、概念、理論與方法的本質認識，是體現于基礎科學中的具有奠基性、總結性的內容。它含有傳統數學的精華和現代數學的基本觀點，并且將繼續發展完善。數學思想是數學的靈魂，是開啟數學知識寶庫的金鑰匙，是用之不竭的數學發現的源泉。可以說數學的發展史是一部生動的數學思想的發展史，它深刻地告訴我們：數學思想是數學知識的本質，它為分析、處理和解決數學問題提供了指導方針和解題策略。

（二）基本數學思想及分類

在數學思想中，有一類思想是體現或應該體現基礎數學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想則稱之為基本數學思想。基本數學思想包括：符號與變元表示的思想、集合思想、對應思想、公理化與結構思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想、對立統一的思想、整體思想、函數與方程思想、極限思想等。基本數學思想有兩大“基石”，即符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”，即對應思想和公理化與結構思想。下面我們就將結合各類題型分析研究三角函數中常見的基本數學思想。

二、三角函數中常見的基本數學思想及題型分析

（一）轉化與化歸思想

數學解題以轉化為手段，以化歸為目的，所以“轉化與化歸思想”是解決數學問題的根本思想。同時，轉化與化歸思想方法是高中數學核心思想方法之一。當我們解決數學問題時，它無處不在。而“問題是數學的心臟”，“解題是數學活動的基本形式，解題是數學活動的主要內容”那么如何解題就非常重要了。世界著名數學家C.A.雅潔卡婭在一次演講中提到：“解題就是把要接的題轉化為已經接過的題”，也就是說解題的過程即為“轉化與化歸”的過程。解題的基本模式：由復雜到簡單，由陌生到熟悉，由抽象到直觀，由特殊到一般。“轉化與化歸思想”沒有一個統一和固定的模式，其過程還有“等價”和“不等價”之分，就使其具有靈活性和多樣性，并且我們在解決幾乎所有數學問題中都有應用它，故它又具有廣泛性。通過新問題的解決，達到解決原問題的目的，這種方法在三角函數的解題中也是常見的。

（二）轉化與化歸思想解題程序及基本原則

轉化與化歸思想解題的基本程序為：把問題A通過一定手段進行轉化、歸結為問題B，而問題B是相對容易解決的問題或已知固定的解題思維的問題，且通過問題B的解決，搭建橋梁，從而使得問題A得以解決。

轉化與化歸思想的基本原則：熟悉化原則、簡單化原則、直觀化原則、正難則反原則。

（三）轉化與化歸思想在三角函數中的應用

三角函數中求非特殊角三角函數值問題一直以來是高考中的常考點之一，這類問題將特殊角三角函數與三角函數積化和差公式整合在一起，形成了眾多值求值的三角函數問題。遇到這樣的題型，我們常使用“轉化與化歸思想”將問題熟悉化、簡單化，從而將其解決。在解三角形中，我們也常遇到“邊角”混合的題目，這時我們就需要使用“正余弦定理”將邊角統一化。下面我們將從以下兩個方面及相關題型探討轉換與化歸思想在高中三角函數中的應用。

◆建立化歸橋梁，將已知量與未知量相結合。建立化歸橋梁就是要在問題的接入點之間建立關系橋梁，創造條件達到化歸的目的。

【例1】求sin15°cos75°+sin75°cos15°的值。

分析題中給出的15°和75°都不是特殊角，故不能直接計算。但不難發現題中所給的兩個角為互補角，故可通過三角恒等轉化為同角。

解法一：sin15°cos75°+sin75°cos15°

=sin15°cos(90°-15°)+sin(90°-15°)cos15°

=sin215°+cos215°

=1。

評析本題將非特殊角的三角函數問題轉化為特殊角的三角函數值進行計算，滿足了“轉化與化歸思想”的熟悉性原則及簡單性原則。

小結：通過建立化歸橋梁時，突破口在于已知量和未知量的聯系，這個聯系往往是一個過渡元素，主要表現為一個字母、一個代數式、一個定理等，找到這個聯系后問題也就迎刃而解。◆轉化思維角度，將已知量與未知量相結合。有些問題按常規思維難以解決時，我們常考慮從另一個角度來研究。思維角度轉化主要包括：代數到三角、幾何；數到形；正化反；特殊到一般；抽象到具體等。

通過以上例子，我們知道化歸思想在三角函數中有著舉足輕重的作用，對我們解決問題有很大的幫助。但數學思想的形成需要長期性的滲透與訓練，這就使得我們教師必須在教學中作更深的探討和研究。如果將數學教學僅僅看成是一般數學知識的傳授（照本宣科的傳授式教學），那么即使教授再多的公式和定理，可能仍然難免淪為一堆僵死的教條，難以發揮它們的作用；而掌握了數學的思想方法和精神實質，就可以由不多的公式演繹出千變萬化的生動結論，顯現出無窮無盡的威力。這也正是我們新課程標準對各位教師和學生提出的新要求。