平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體彈性碰撞問(wèn)題的探討

陳鐵松

(長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 吉林 長(zhǎng)春 130021)

在研究碰撞問(wèn)題中，引入恢復(fù)系數(shù)后，恢復(fù)系數(shù)成為求解碰撞問(wèn)題的關(guān)鍵參數(shù)之一. 許多教材中關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的引入情景都類似，即在光滑水平面上可以看成質(zhì)點(diǎn)的自由二體碰撞過(guò)程中，給出恢復(fù)系數(shù)的定義.對(duì)于彈性碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒和動(dòng)能不變可求得碰撞前后兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度大小相等，即恢復(fù)系數(shù)等于1. 對(duì)于不可看作質(zhì)點(diǎn)的做平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后碰撞點(diǎn)沿碰撞力方向的相對(duì)速度大小相等是否還適用，教材中都沒(méi)有明確指出這一點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)彈性碰撞問(wèn)題的規(guī)律認(rèn)識(shí)不夠深入，求解問(wèn)題時(shí)考慮不夠全面或陷入復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

本文證明了兩個(gè)做平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體發(fā)生彈性碰撞過(guò)程中，發(fā)生碰撞的兩點(diǎn)在碰撞力的方向上相對(duì)速度大小相等，這個(gè)結(jié)論與碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能不變是等價(jià)的，并用此結(jié)論求解一道物理競(jìng)賽題目，很容易得出結(jié)果.

1 兩個(gè)不可看作質(zhì)點(diǎn)的剛體發(fā)生彈性碰撞

如圖1所示，表面呈幾何光滑的兩個(gè)剛體在光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)，參考系選擇為地面.某時(shí)刻兩個(gè)剛體發(fā)生彈性碰撞.設(shè)剛體1的質(zhì)量為m1，繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，質(zhì)心初速度大小為v10，初始角速度大小為ω10，剛體2的質(zhì)量為m2，繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，質(zhì)心初速度大小為v20，初始角速度大小為ω20；碰撞后剛體1的質(zhì)心速度大小為v1，角速度大小為ω1，剛體2的質(zhì)心速度大小為v2，角速度大小為ω2，各個(gè)矢量的方向如圖1標(biāo)注所示.為了數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單且不失一般性質(zhì)，我們假設(shè)兩個(gè)剛體質(zhì)心的初速度方向相反，且碰撞點(diǎn)的法線方向與它們各自的質(zhì)心初速度方向相同.

圖1 兩個(gè)不可看作質(zhì)點(diǎn)的剛體發(fā)生彈性碰撞

假設(shè)碰撞過(guò)程中，兩個(gè)剛體間的沖量大小為I，由動(dòng)量守恒

-I=m1v1-m1v10I=m2v2-(-m2v20)

(1)

對(duì)剛體質(zhì)心的沖量矩定理

Ir1=J1ω1-J1ω10Ir2=J2ω2-(-J2ω20)

(2)

兩個(gè)剛體彈性碰撞，接近速度等于遠(yuǎn)離速度

v10-ω10r1-(-v20-ω20r2)=

v2+ω2r2-(v1-ω1r1)

(3)

由式(1)、(2)、(3)解得

碰撞后兩個(gè)剛體的總動(dòng)能

(-Ir1ω10+Ir2ω20+Iv10+Iv20)]

代入I的表達(dá)式后得

(-Ir1ω10+Ir2ω20+Iv10+Iv20)=0

即彈性碰撞前后，兩個(gè)剛體系統(tǒng)的總動(dòng)能保持不變.

2 結(jié)論的應(yīng)用

【題目】由絕對(duì)剛性的輕桿連接兩個(gè)很小的重球組成“啞鈴”，以速度v0沿垂直于靜止不動(dòng)的光滑墻面平動(dòng)，并且“啞鈴”的軸與墻面成45°角,如圖2所示．問(wèn)當(dāng)“啞鈴”與墻面發(fā)生彈性碰撞后將怎樣運(yùn)動(dòng)？

圖2 題目情境圖

這是一道關(guān)于碰撞的競(jìng)賽題，題目的情景對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常的熟悉，解題切入點(diǎn)也很容易找到.球A與墻壁發(fā)生彈性碰撞過(guò)程，由于有輕桿的束縛作用，不能簡(jiǎn)單地把球A看成質(zhì)點(diǎn)，所以大多數(shù)學(xué)生都是采用動(dòng)量守恒和能量守恒相結(jié)合的方式完成題目的求解，參考書中也是采用這個(gè)思路求解的.但是采用這種方法求解不可避免地要去求解二次方程，計(jì)算量會(huì)比較大.下面應(yīng)用剛體彈性碰撞中碰撞點(diǎn)的恢復(fù)系數(shù)為1的結(jié)論結(jié)合“啞鈴”系統(tǒng)碰撞前后角動(dòng)量守恒求解本題.

設(shè)球A與墻壁發(fā)生碰撞后，“啞鈴”系統(tǒng)質(zhì)心的速度大小為v1，兩球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，應(yīng)用本文結(jié)論，球A與墻壁發(fā)生彈性碰撞，碰撞點(diǎn)恢復(fù)系數(shù)為1，即分離速度大小等于接近速度大小

對(duì)“啞鈴”系統(tǒng)由角動(dòng)量守恒得

以上兩式子聯(lián)立解得

3 總結(jié)

利用動(dòng)量守恒和角動(dòng)量定理，并結(jié)合彈性碰撞過(guò)程中碰撞點(diǎn)在碰撞力的方向上碰撞前后相對(duì)速度的大小相等，即恢復(fù)系數(shù)等于1這個(gè)結(jié)論，推導(dǎo)得出彈性碰撞前后，兩個(gè)剛體系統(tǒng)的總動(dòng)能保持不變.上述分析中，平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體的速度方向、角速度方向的假設(shè)具有任意性，所以這個(gè)結(jié)論在剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的碰撞過(guò)程中是普遍成立的，該結(jié)論在處理平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的彈性碰撞問(wèn)題時(shí)具有一定的參考價(jià)值.