設(shè)參建模 深度整合

胡嫚玲

各位評(píng)委大家好，我說(shuō)我將從以下五個(gè)方面展開(kāi)說(shuō)題，一說(shuō)題目，二說(shuō)學(xué)情，三說(shuō)教學(xué)，四說(shuō)推廣，五說(shuō)價(jià)值。

1 ?說(shuō)題目

如圖1，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？

這道題出自于人教版九年級(jí)下冊(cè)《相似三角形復(fù)習(xí)題》57頁(yè)拓廣探索第11題，本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等。

該題目之所以出現(xiàn)在相似這一章的拓廣探索復(fù)習(xí)題上，不僅是考察學(xué)生對(duì)本章所學(xué)能否應(yīng)用于實(shí)踐探索，更是對(duì)設(shè)參思想，建模思想的考察，也透露出數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。

本題是設(shè)參，通過(guò)相似比例關(guān)系得到含有參數(shù)的方程，在解題時(shí)，通過(guò)以疑激趣，以疑啟思，在精心設(shè)問(wèn)下引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考和探究，合理聯(lián)想，突破解題思路，增強(qiáng)解題能力，提升數(shù)學(xué)思維，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

2 ?說(shuō)學(xué)情

學(xué)生對(duì)相似的性質(zhì)和應(yīng)用基本掌握，但在復(fù)雜情況下，對(duì)相似的模型識(shí)別能力欠缺，審題意識(shí)和能力不強(qiáng)，尤其對(duì)于隱含條件的挖掘比較欠缺，通過(guò)適時(shí)設(shè)參，轉(zhuǎn)化為方程乃至函數(shù)，這種解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)缺乏，模型積累較少，因而造成學(xué)生對(duì)此題心生畏懼，容易回避。

3 ?說(shuō)教學(xué)

受波利亞解題表中第一步弄清題意，第二步擬訂計(jì)劃，第三步實(shí)行計(jì)劃，第四步回顧的啟發(fā)，結(jié)合本題的實(shí)際背景，將本題的解題策略，分為以下5個(gè)環(huán)節(jié)1.思維鋪墊，2.分析題目，3.關(guān)鍵點(diǎn)突破，4.解題過(guò)程，5.回顧梳理

3.1思維鋪墊

首先以思維導(dǎo)圖（圖2）的形式來(lái)對(duì)本章的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧，在導(dǎo)圖中，有意強(qiáng)調(diào)與本題相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，為此題的解決做準(zhǔn)備工作。

3.2分析題目

有研究顯示，做一道題有70%的時(shí)間都應(yīng)該在認(rèn)真審題，所以此題的解題教學(xué)以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式幫助學(xué)生理解題意，進(jìn)行審題分析;

3.3關(guān)鍵點(diǎn)突破

此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，一對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，二設(shè)參法，在學(xué)生由平行得到相似這一認(rèn)知基礎(chǔ)上，當(dāng)學(xué)生分析到題中給的條件由底邊BC，高AD，在圖1中予以做標(biāo)記，以此來(lái)提示學(xué)生，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)底邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，在分析基本圖形時(shí)，指出與正方形相等的邊長(zhǎng)KD恰好于大三角形的高AD重合，在對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比的基礎(chǔ)上，就可以用設(shè)參法列出關(guān)于邊長(zhǎng)的等量關(guān)系;

3.4解題過(guò)程

由學(xué)生到黑板上演示此題的解題過(guò)程，老師對(duì)其解題過(guò)程進(jìn)行評(píng)價(jià)，以幫助其養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣;

3.5回顧梳理

再由老師對(duì)本題的解題思路進(jìn)行總結(jié)，為此題的變式做準(zhǔn)備。

下面是我的教學(xué)實(shí)錄

4 ?說(shuō)推廣

波利亞在《怎樣解題中》指出：“變化問(wèn)題使我們引進(jìn)新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生新的接觸，產(chǎn)生和我們問(wèn)題有關(guān)的元素接觸的新的可能性”，之所以選擇這道題目，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)在9上課本在實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)的復(fù)習(xí)鞏固第六題習(xí)題中發(fā)現(xiàn)了類(lèi)似的圖形（圖3）。

而這道題的考點(diǎn)是通過(guò)設(shè)參，建立二次函數(shù)模型，用二次函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，從這里給了我靈感，大膽對(duì)第11題進(jìn)行變式，新課標(biāo)提出培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和模型思想，要求我們關(guān)注數(shù)學(xué)模型，從生活中來(lái)，到生活中去解決問(wèn)題，我決定構(gòu)設(shè)相似場(chǎng)景，把正方形變?yōu)榫匦危鉀Q在節(jié)約型社會(huì)下提倡物盡其用，如何截取才能使得矩形面積最大的問(wèn)題。

變式1：如圖4，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，如何裁剪，使矩形面積最大？最大面積是多少？

對(duì)變式1的教學(xué)流程

4.1自然過(guò)渡，將正方形變?yōu)榫匦危绾谓厝。拍苁沟镁匦蚊娣e最大？

4.2用動(dòng)態(tài)圖幫助學(xué)生分析題目，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)圖的基礎(chǔ)上理解面積變是由于長(zhǎng)和寬在變，所以本題有三個(gè)變量;

4.3求面積最大值，要用二次函數(shù)，而二次函數(shù)是兩個(gè)變量;

4.4本題的題眼就要借助上一題的思路利用相似模型在于找到長(zhǎng)和寬的等量關(guān)系;

4.5三個(gè)變量減少為兩個(gè)變量，就可以用二次函數(shù)模型來(lái)求最值。

設(shè)計(jì)意圖：要想用二次函數(shù)解決矩形面積最大值，就要借助原題中的相似模型找到長(zhǎng)和寬的等量關(guān)系，再用二次函數(shù)模型解決最值問(wèn)題，在一道題中，對(duì)不同的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)設(shè)參建模，進(jìn)行整合，讓學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，對(duì)此題進(jìn)行深度理解。

下面是我的教學(xué)實(shí)錄

在變式1基礎(chǔ)上，由特殊到一般，繼續(xù)設(shè)參，底邊a，高為h，類(lèi)比變式1可得變式2的教學(xué)流程;

變式2：如圖5，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊a，高h(yuǎn)，要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，如何裁剪，使矩形面積最大？最大面積是多少？

1.將底和高換為字母;

2.類(lèi)比上一題的解題思路即可求得題思路，師生共驗(yàn)證猜想。

設(shè)計(jì)意圖：以變式1為原型，再次對(duì)一道題中不同數(shù)學(xué)模型通過(guò)設(shè)參進(jìn)行深度整合，讓學(xué)生體驗(yàn)攻堅(jiān)克難的過(guò)程，樹(shù)立其對(duì)數(shù)學(xué)的信心

下面是我的教學(xué)實(shí)錄

5 ?說(shuō)價(jià)值

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）旗幟性理念是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提倡教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，通過(guò)原題的詳細(xì)解決過(guò)程，變式1.2的適度延伸和探究，旨在讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題有一個(gè)由淺入深的認(rèn)識(shí)過(guò)程，在這個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程中對(duì)不同數(shù)學(xué)模型進(jìn)行整合，讓學(xué)生體會(huì)不同數(shù)學(xué)模型，在一道題目中存在時(shí)，能發(fā)現(xiàn)并提出新的問(wèn)題，進(jìn)而去分析和解決問(wèn)題，這樣的習(xí)題教學(xué)更是培養(yǎng)學(xué)生在遇到困難時(shí)攻堅(jiān)困難，尋根問(wèn)底，理性分析等良好數(shù)學(xué)品格的契機(jī)。

更重要的是能在不改變問(wèn)題情境的狀況下，自然過(guò)渡與切合，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)的“有用”，體會(huì)到解決問(wèn)題幫助他人的愉悅感，為社會(huì)進(jìn)步作出小貢獻(xiàn)的成就感，會(huì)更增添學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)的決心。