基本不等式及其應用

黃星銘

基本不等式成立條件是：; 當且僅當時等號成立。所以，應用基本不等式時要注意“一正二定三相等”。“一正”是指使用基本不等式的各項必須是正數;“二定”是指含變數的各項的和或乘積必須是常數;“三相等”是指具備等號成立的條件，使待求式能取到最大值或最小值。

一、“錯用”基本不等式，有看點

三、混合基本不等式、柯西不等式、放縮法、導數等求最值

基本不等式除了求“最值”外，還具有將“和式”與“積式”互化的放縮功能，常用于比較數（式）的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是抓住不等式兩邊的結構特征，找準用基本不等式的切入點。

四、用基本不等式探討不等式的恒成立、能成立、恰成立問題

1.恒成立問題

若在區間D上存在最值，則

不等式在區間D上恒成立;

不等式在區間D上恒成立;

2.能成立問題

若在區間D上存在最值，則

不等式在區間D上能成立;

不等式在區間D上能成立;

注意：“能成立”與“恒成立”的問題均要求出“最值”，但是所需要的“最值”正好相反！

3.恰成立問題

不等式恰在區間D上成立的解集為D;

不等式恰在區間D上成立的解集為D;

注意：恰成立問題不刻意求出“最值”，它關注的是不等式的解集要在“D”內。

基本不等式的應用廣泛，運用起來要求靈活轉化，要抓牢“一正二定三相等”這一成立條件。若在求解過程不滿足“一正二定三相等”時，可用“函數的單調性”來求解。