巧用反比例函數“特定關系”解題分析

摘?要：函數是初中數學教學的重要課程，其教學特征是關注定量和數值之間的變化規律。函數知識在很多學科中都有應用，且初中數學注重講解函數思想和方法，通過分析函數之間的特殊關系探討教學中的問題。本文對初中數學中的“反比例函數”教學重難點和特定教學關系進行研究，希望能夠為提升學生對反比例函數的認識，減輕其學習壓力，提升教學質量綿盡微薄之力。

關鍵詞：巧用;反比例函數;特定關系;解題分析

近年來，隨著新課改的教學要求不斷深入，中學數學教學對反比例函數的知識點要求更為嚴格，雖然在教學形式和內容上有了很大變化，但是學生在考試中要想獲得高分依舊需要掌握基礎知識點，只有了解基礎，才有活學活用的可能。為了優創教學環境，提升教學質量，教師應當將反比例教學的重點落在基礎教學和性質研究、內容鉆研幾個方面。

一、 研究初中反比例教學課程知識教學要求

新課改教學下，初中反比例函數教學要求學生掌握基礎反比例函數特性，且在掌握反比例函數知識點基礎上，可自主掌握相關延伸知識內容，以實現多題一解，一題多解的教學目標。本文針對八年級下冊中的“反比例函數”這一章節進行研究，分析和研究教學設計中的反比例函數學習重難點，并不斷探索教師對函數的教學理解過程，不斷提升其學習質量，幫助學生了解反比例函數學習知識本質，養成積極、科學的邏輯思維能力，實現知識交流等目標，為提升數學綜合教學奠定基礎。

二、 分析反比例函數教學的難點和問題

（一）對基礎概念掌握不明

反比例函數是很多數學習題的解決突破點，在很多和數值、圖形相關的案例中，反比例函數都是可行、高效的求解方式。但是依舊存在很多學生“叫苦連天”，表示反比例函數應用難度大，學習難，可用性低。實際上，學生應用反比例函數來搭建圖形，構建數、圖關系時候，一定要了解圖形和數字之間的關系。很多學生在看老師演練習題時候一看就懂，輪到自己做題時候卻“山重水復疑無路”。實際上，這是學生對反比例函數概念認識不明，掌握不牢靠所導致。

反比例函數是坐標象限中不相交的雙曲線，這兩條曲線分布在正、負數值區域中，數值和圖形的關系往往存在雙面性。在學習中，學生為了盡快掌握知識點，死記硬背教師給的解題步驟，缺乏對自身掌握能力的分析。最終導致學生學習基礎不穩固，隨著后期知識點的深入，對教師所講感到“云里霧里”。此外，還有很多教師在實際教學實踐中，沒有對學生進行相應的反比例函數概念講解，直接讓學生背公式，久而久之，學生對習題麻木，對概念淡漠化，認為反比例函數是兩條不相交的曲線，其余深刻概念一概不知。

（二）機械化訓練強度大，學生缺乏創新應用能力

反比例函數在初中數學內容中占據重要的地位，在實際的教學活動中，學生對函數教學知識的理解程度不高，為了贏得教師的認可、完成家人的目標、得到同學的關注，在學習中存在“邯鄲學步”和“蹣跚學步”兩種錯誤學習類型。急于求成學生掌握基礎知識，得到教師夸獎后自信滿滿，開始鉆研偏、怪題目，在特殊的習題中耗用大量時間，學習不均衡。另外一種學生對知識理解不深入，學習時候缺乏自信，總是死扣概念，重復練習簡單習題，不愿意思考，突破自己，嘗試中難度習題。

可見，教師對反比例教學感知敏感性不佳，學生重復性地學習、理解習題，缺乏一個思維跳板，最終塑造出過于自負、過于自卑兩類學生。建議教師把握整體教學方向，為學生講解反比例函數在中學數學教學的地位和重難點掌握程度，端正學生的學習心態和學習價值觀，提升反比例函數教學的重要性。

三、 分析反比例函數的性質特征

中學數學教學中，數學教師可從基礎概念突破，讓學生理解反比例函數的教學特性，以此來加深學生對反比例函數的理解，實現數學性質、邏輯思維等多個方面突破。

（一）反比例函數的基礎性質

反比例函數的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的兩條曲線，反比例函數圖像中每一象限的每一條曲線會無限接近x軸y軸但不會與坐標軸相交（y≠0）。

一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=k/x（k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數。因為y=k/x是一個分式，所以自變量x的取值范圍是x≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x-1。k>0時，圖像在一、三象限。k<0時，圖像在二、四象限。k的絕對值表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積。

（二）反比例函數的特殊性質和案例分析

1. 反比例函數的共生性研究分析

反比例函數編入初中課程教學時間不長，但其核心本質始終是函數，雖然涉及了數值、公式、圖形坐標之間的關系，但依舊可以從分析函數的角度來研究反比例函數。反比例函數和函數的共生性有奇偶性、對稱性、點調性。教師在為學生介紹反比例函數時候，可以將其對比其他函數例如正比例函數，以此來激發學生的好奇心，提升其判斷力，提升其解題效率（如圖1所示）。

函數正比例函數反比例函數

解析式y=kx（k≠0）?（特殊的一次函數）y=kx或y=kx-1（k≠0）

圖像

自變量取?值范圍全體實數x≠0的一切實數

圖像的?位置當k>0時，在一、三象限;當k<0時，在二、四象限當k>0時，在一、三象限;當k<0時，在二、四象限

性質當k>0時，y隨x的增大而增大;當k<0時，y隨x的增大而減小當k>0時，在第一象限或第三象限，y隨x的增大而減小;當k<0時，在第一象限或第三象限，y隨x的增大而增大

圖1?反比函數和正比例函數的函數性質對比

2. 反比例函數的特殊性

反比例函數對比其他函數，其具備獨特的應用價值和使用性質，這也讓其在眾多的函數環境中得以突破，彰顯價值。很多學生表示，在解題中難以將反比例函數和學習習題聯系起來，缺乏解題思路。對此，建議教師從反比例函數的特有性質進行突破。首先，繪畫圖形，反比例函數的圖像和其他函數圖像不同，教師可以利用圖像關系來引導學生理解、認識反比例函數性質，并采用數形結合的方式完成學習任務。經過圖形的對比，學生可以觀察得到不同性質的函數圖像關系，進而加深對抽象性質的認識。如下案例所示（如2所示）。觀察函數y=k/x（k≠0）的特殊圖像，分析其線條走勢和數字關系;當k值為-8時，圖像如下圖2所示。

圖2?y=-8/x（k≠0）圖像

根據其圖像特征，現解題y=1/x（x>0）的不同坐標點和原點組成的三角形圖像關系面積。例如下圖3所示。

圖3?反比例函數案例圖

研究函數該類型問題要透視函數的本質特征。反比例函數中，比例系數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積為。所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。這個常數是k的絕對值。在解有關反比例函數的問題時，若能靈活運用反比例函數中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。此題可以從反比例函數定義，所有的類似圖像上圍成的三角形面積都應該是相等的;其次，可采用取點計算面積對比可知，實際上，上圖△AOC和△BOD的面積經過假設值帶入計算，其中A（1，1）;B（2，0.5）和原點圍成的三角形經過計算面積也是相等的。

3. 反比例函數的應用性價值

反比例函數是中學數理化習題中常用的技巧。例如物理課程中的速率計算等，這些知識關系到了初中中學學生的多學科發展，對學生的學習成長有重要的價值意義。在學習中，教師要注意學生的反比例函數的實際應用，要引導學生積極掌握知識點重點內容，不斷提煉函數的知識點，最終將其運用到多學科，生活中去。如下圖4教學案例可知。

假設A/B兩地的距離為S，求解以汽車從A到B勻速運動，此時汽油消耗量為x升每小時，需要學生求出兩地運輸距離的總耗油量y升和汽車行駛速度v關系是怎樣的。首先，學生要了解耗油量和速度之間的關系，其中行駛時間為h=S/v，耗油量是y=S/v*x，且所有的計算值都應該是正值。經過整合計算后可為y=S*x/v。答案如下圖4所示。

圖4?反比例函數例題答案

四、 結語

綜上所述，反比例函數和傳統的數學教學方式不一樣，且圖形教學知識點并不是連貫的，教師在教學中要注意引導學生對知識點性質的理解，關注反比例函數和其他函數之間的相關性，探討和圖像之間的關系，不斷鍛煉學生對知識點的掌握、理解能力，引導學生將知識推廣應用與生活，最終提升數學教學的質量。

參考文獻：

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作者簡介：

謝建寶，福建省龍巖市，福建省龍巖市上杭縣第三中學。