讓概念的核心內(nèi)涵在層層對比中自然呈現(xiàn)

張緬 高叢林

【課前慎思】

“認識一個整體的幾分之一”是蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊第七單元起始課。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過把一個物體或圖形平均分成若干份，用分數(shù)表示這樣的一份或幾份，在生活中也積累了很多平均分一個物體，用分數(shù)表示分的結(jié)果的經(jīng)驗。本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容既豐富了學(xué)生對分數(shù)的理解，也是今后進一步抽象分數(shù)的意義、理解分數(shù)的性質(zhì)的重要支撐。

“認識一個整體的幾分之一”對于三年級學(xué)生來說非常抽象。首先，就分數(shù)外形來說，本節(jié)課學(xué)習(xí)的分數(shù)和以前的分數(shù)沒有差別。把一個桃子平均分成兩份，每份用表示，把一盤桃子平均分成兩份，每份也用表示。可是它們對應(yīng)的數(shù)量卻不同，前者是半個，后者可以是1個，可以是2個、3個，甚至100個……這一改變在學(xué)生認識數(shù)方面將帶來思維上的飛躍。以前數(shù)表示的大小是固定的，數(shù)與量的關(guān)系一一對應(yīng)，而現(xiàn)在同一個分數(shù)可以對應(yīng)不同的數(shù)量，不同的分數(shù)對應(yīng)的數(shù)量也可能是相同的。這對學(xué)生認知造成很大的沖突。其次，就分數(shù)的意義來說，把幾個物體組成的整體平均分成若干份，用分數(shù)表示這樣的一份，僅僅是部分和整體間的關(guān)系，其結(jié)果與一份的實際數(shù)量在形式上完全不同。比如，把6個桃子平均分成3份，每份是這盤桃的，這里表示一份和這盤桃子的關(guān)系，這與原有經(jīng)驗“每份有2個桃子”存在很大的認知差異。

“難道同一個分數(shù)卻有兩種甚至更多種意義？”“究竟什么是分數(shù)？”學(xué)生認知上產(chǎn)生很大困惑。面對這些既有聯(lián)系又有區(qū)別的新舊概念，“比較”是有效的教學(xué)方法。順應(yīng)學(xué)生思維，一次次引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察、思考，從不同角度、不同層面開展對比和辨析，對比中，學(xué)生層層突破對分數(shù)原有的單一認識，去偽存真，漸漸逼近分數(shù)的本質(zhì);對比中，學(xué)生悟到分數(shù)與具體個數(shù)無關(guān)，只和平均分的份數(shù)有關(guān)。不管是一個物體還是多個物體，只要把它或它們看作一個整體，平均分成幾份，每份就是這個整體的幾分之一。分數(shù)的本質(zhì)在層層對比中自然地浮出水面，學(xué)生的思維在層層對比中不斷進階。

【教學(xué)目標】

1. 在具體情境中進一步認識分數(shù)，知道把一些物體看成一個整體平均分成若干份，每份可以用幾分之一來表示。

2. 通過動手操作、合作交流、提問釋疑、自主探索等學(xué)習(xí)活動，經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)“用分數(shù)表示一些物體的幾分之一”的知識獲取過程，能用自己的語言來描述分數(shù)的含義。

3. 在有趣的情境中參與對分數(shù)的新探索、新發(fā)現(xiàn)、新認識活動，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，體會分數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。

【教學(xué)過程】

對比一：溝通新舊知識，初步感受一個整體的幾分之一

師：（播放視頻）夏天到了，尼克又做了許多爪爪冰分給小倉鼠們。只剩一個爪爪冰了，卻有兩只小倉鼠等著要。想想怎樣分公平？

生：平均分。

師：你能用一個分數(shù)表示分的結(jié)果嗎？為什么？

生：把一個爪爪冰平均分成2份，每份是半個，每份是這個爪爪冰的。

師：兩只小倉鼠各吃了半個很不過癮，第二天尼克又準備了一些爪爪冰，他想平均分給這兩只倉鼠。每只小倉鼠能分得這盤爪爪冰的幾分之幾呢？

教師課前給學(xué)生每人準備一個裝有爪爪冰圖的信封，爪爪冰數(shù)不同。請學(xué)生“分一分”“涂一涂”，表示出每只小倉鼠分得這盤爪爪冰的幾分之幾。

展示，請幾個同學(xué)把作品貼在黑板上。

生1：我的這盤爪爪冰一共有6個，把它平均分成2份，每份是3個，這3個就是這盤爪爪冰的。

師：這3個爪爪冰（指涂色部分）就是這盤的，這3個爪爪冰呢（指沒涂色部分）？是這盤的幾分之幾？

師：咦，奇怪了，分的是6個爪爪冰，涂了色的有3個，怎么會用表示？

生：我們是把這6個爪爪冰看作一個整體（師相機用紅筆在圖中畫集合圈）平均分成2份，所以每份就是這盤爪爪冰的。

師：回顧一下，剛剛平均分一個爪爪冰和現(xiàn)在平均分一盤爪爪冰，兩次分有什么相同和不同？

生：都是平均分成2份，取其中一份。

生：一個是把一個爪爪冰平均分2份，一個是把6個爪爪冰當作一個整體平均分成2份。

【點評：從一個物體的幾分之一到一個整體的幾分之一，這是分數(shù)含義的一次主要拓展。將新舊知識融合在同一個有趣的情境中，充分利用“都平均分成兩份”這個連接點，突出重點，化難為易。把一個爪爪冰平均分成兩份，每份是個，是一個爪爪冰的，這里前一個是量，后一個才是一份和整體的關(guān)系，具有分數(shù)最本質(zhì)的含義。把6個爪爪冰平均分成兩份，每份不可能再是個了，每份的個數(shù)變了，但每份仍然是一個整體的，平均分的份數(shù)一樣，分數(shù)的本質(zhì)沒變。由分一個爪爪冰到分一盤爪爪冰，抓住了新舊知識的同化和順應(yīng)，啟發(fā)學(xué)生用原有的經(jīng)驗探索新知，實現(xiàn)知識的遷移。】

對比二：變化中的不變，再次體驗一個整體的幾分之一

師：再看看其他同學(xué)分的情況。

生1：我的這盤爪爪冰一共有4個，把它們看作一個整體，平均分成2份，每份是2個，這2個爪爪冰就是這盤爪爪冰的。

師：為什么這兩個爪爪冰就是這盤的？

生1：因為我把4個爪爪冰看作一個整體。

生2：我的這盤爪爪冰一共有8個，我把它們看作一個整體，平均分成2份，每份是4個，每份就是這盤爪爪冰的。

生3：我的這盤爪爪冰一共有10個，我把它們看作一個整體，平均分成2份，每份是5個，每份就是這盤爪爪冰的。

生4：我的這盤爪爪冰一共有5個，我把它們看作一個整體，平均分成2份，每份是兩個半，每份也是這盤爪爪冰的。

師：這位同學(xué)分的結(jié)果很特別，每份出現(xiàn)了半個的情況，為什么？每份也能用表示嗎？

師：觀察這些分的情況，有什么相同和不同的地方？

生：相同點是都把盤子里所有爪爪冰看成一個整體;都是平均分成2份;每份都用表示。

生：不同點是總個數(shù)不同;每份的個數(shù)也不同。

【點評：在探索新知的過程中，教師為學(xué)生提供了多樣的學(xué)材，組織了豐富的活動。每個學(xué)生都經(jīng)歷了從圖到分數(shù)，再到根據(jù)分數(shù)畫圖的過程，從正反兩個方面理解將一個整數(shù)平均分成2份都用來表示。當不同的作品展示出來，學(xué)生通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)盡管每份的爪爪冰數(shù)各不相同，但都是兩份中的一份，都可以用表示。這樣在變化中發(fā)現(xiàn)不變，有利于學(xué)生洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)。】

對比三：不變中的變化，歸納概括一個整體的幾分之一

師：這時，又來了一只小倉鼠。尼克要想把這6個爪爪冰平均分給3只小倉鼠，每只小倉鼠分得這盤爪爪冰的幾分之幾？

（學(xué)生再次“分一分”“涂一涂”，表示出每只小倉鼠分得這盤爪爪冰的幾分之幾）

生：我是把這6個爪爪冰看作一個整體，平均分成3份，所以每份就是這盤爪爪冰的。

師：我們之前也分了6個爪爪冰，都是6個爪爪冰，為什么卻用了不同分數(shù)表示？

生：因為平均分的份數(shù)不同，之前是平均分成2份，每份是這盤爪爪冰的，現(xiàn)在平均分成3份，每份是這盤爪爪冰的。

師：尼克還有一盤爪爪冰，他想再邀請幾個小倉鼠來品嘗，你要是尼克會邀請幾只小倉鼠呢？看，這盤里有12只爪爪冰，請你幫忙把這些爪爪冰平均分給邀請來的小倉鼠吧。

生：把12個爪爪冰看作一個整體，平均分成3份，每份4個，是這盤爪爪冰的。

生：把12個爪爪冰看作一個整體，平均分成4份，每份3個，是這盤爪爪冰的。

……

師：平均分的都是12個爪爪冰，為什么表示每份的分數(shù)卻不一樣呢？

生：平均分的份數(shù)不同。平均分成幾份，每份就是這個整體的幾分之一。

師：對了，剛剛有同學(xué)想要邀請5只、10只倉鼠的，你們怎么改主意了？

生：分得不方便。

師：能分嗎？分的結(jié)果怎么表示？

師：是的，平均分成幾份，每份就是幾分之一。只是在實際分的時候我們還要考慮數(shù)據(jù)特點，不然尼克分得不方便，倉鼠吃得也不過癮。

師：今天我們又認識了分數(shù)，（板書課題：分數(shù)的初步認識2）這些分數(shù)有什么共同之處？

生：都是把一個整體平均分成幾份，每份是這個整體的幾分之一。

師：今天學(xué)的分數(shù)和之前有什么不同？

【點評：經(jīng)過之前的比較和概括，學(xué)生已經(jīng)將關(guān)注點放在了研究部分和整體之間的關(guān)系上，不再受具體個數(shù)的干擾。先思考同樣6個爪爪冰，平均分成3份，每份怎么用表示，讓學(xué)生初步感受分數(shù)和爪爪冰總數(shù)無關(guān)，只和平均分的份數(shù)相關(guān)。再出示12個爪爪冰圖，讓學(xué)生自主操作，變換平均分的份數(shù)，進而發(fā)現(xiàn)整體不變，但平均分的份數(shù)變了，那么表示每份的分數(shù)也變了。通過對分子分母意義的思考，逐步完善分數(shù)意義的建構(gòu)。這個環(huán)節(jié)的教學(xué)共融合了四次小對比，都是分6個爪爪冰和分12個爪爪冰所得到不同分數(shù)的對比、今天學(xué)習(xí)的分數(shù)之間對比以及今天學(xué)習(xí)的分數(shù)和之前學(xué)習(xí)的分數(shù)之間的對比。在一系列對比下， “把一些物體看作一個整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一”自然地浮出水面。】

對比四：變式練習(xí)，深度理解一個整體的幾分之一 。

1.分完爪爪冰，尼克又給倉鼠們分了水果和積木。你能用分數(shù)表示涂色部分嗎？

追問：①和②對比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：每一份都是1個，但是表示每份的分數(shù)卻不一樣。

師：看來不同分數(shù)表示的數(shù)量可以相同。

師：再看①和③，他們都是用表示，為什么一個涂了1個，另一個涂了2個？

生：因為總數(shù)不同。

師：看來相同分數(shù)表示的數(shù)量可以不同。

師：再比較③和④，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是8個小正方體看成一個整體，平均分的份數(shù)不同，每份不同，表示每份的分數(shù)也不同。

【點評：一道習(xí)題組織了三個層次的對比：（1）通過①和②對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每份雖然都是一個物體但卻用不同分數(shù)表示，突出了“不同分數(shù)相對應(yīng)的物體數(shù)量可能是相同的”。（2）通過①和③對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是，有的是1個物體，有的是2個物體，突出“同一個分數(shù)相對應(yīng)的物體數(shù)量也可以是不一樣的”。 （3）再通過③和④的對比，同樣是8個小正方體，每份可以是，也可以是，突出了“平均分成幾份每份就是幾分之一”。三個角度的對比，倒逼學(xué)生深度理解幾分之一的本質(zhì)，促使學(xué)生知識的內(nèi)化，引領(lǐng)學(xué)生思維不斷進階。】

2.分爪爪冰游戲

師：尼克給我們帶來9個爪爪冰，我們一起玩?zhèn)€小游戲。誰能取走這些爪爪冰的？（拿走3個）

師：誰還能取出剩下爪爪冰的？（拿走2個）

師：都是，為什么有人取了3個，有人卻取了2個呢？

師（指出）：盡管都是，但因為整體變了，所以整體的所表示的數(shù)量也就跟著變了。

師：誰再來取走剩下的？（拿走2個）

師（追問）：為什么又拿走了2個？

師：再取走剩下的？（拿走1個）再取走呢？（拿走）……

師：像這樣，不停取下去，能取得完嗎？

【點評：結(jié)尾部分的游戲設(shè)計是全課的點睛之筆。首先，它依然統(tǒng)一在分爪爪冰的情境中，保持著全課故事的連貫性。其次，它具有很強的操作性，學(xué)生興趣盎然。最重要的是，它是一組綜合性練習(xí)，也體現(xiàn)了3次對比。取和再取剩下的對比，突出整體變了，同一個分數(shù)表示的數(shù)量也變了;取和取對比，突出整體變了，同樣數(shù)量可以用不同分數(shù)表示;再取剩下、再取剩下……引發(fā)學(xué)生思考整體可以是多個物體，也可以是1個物體，甚至可以不足1個物體，整體的數(shù)量不重要，只要看成一個整體，平均分成幾份，每份都是這個整體的幾分之一。不僅直擊分數(shù)本質(zhì)，還滲透無限思想，意蘊深長。】