創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想

錢慧 顧萬春

【摘要】“確定位置”的教學(xué)中，教學(xué)的設(shè)計(jì)從一維到二維，體會(huì)對應(yīng)思想;學(xué)生的學(xué)習(xí)由直觀到抽象，滲透模型思想;練習(xí)的層次由基礎(chǔ)到拓展，感悟類比思想。學(xué)生在有效的學(xué)習(xí)情境中用數(shù)學(xué)的思考方式進(jìn)行發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想一步步得以滲透與培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】對應(yīng)思想 模型思想 類比思想

“確定位置”一課是四年級下冊第八單元的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了用前后、左右、上下等表示具體位置和簡單路線知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)物體在空間的具體位置。四年級學(xué)生之前有了對“列、排”的初步認(rèn)知，但對“數(shù)對”這個(gè)概念沒有足夠的認(rèn)知，是極為抽象而又陌生的。如何讓學(xué)生既對其生成過程有所經(jīng)歷，又對其實(shí)質(zhì)能順理成章地輕松接受呢？用心思考之后，筆者把本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念定位為：既尊重教材，又超越教材;既自主發(fā)現(xiàn)，又適當(dāng)講授;既夯實(shí)基礎(chǔ)，又適當(dāng)拓展。讓學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過程中，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法。

一、從一維到二維，體會(huì)對應(yīng)思想

對應(yīng)思想是指用“聯(lián)系的視角”來看待自然界或社會(huì)上的各種變量之間的關(guān)系，也就是人們對兩種事物的合集建立某種聯(lián)系的一種思想方法。數(shù)學(xué)中的對應(yīng)思想就是通過數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系來理解與思考數(shù)學(xué)中的問題。在這節(jié)課的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)“小豬佩奇和小伙伴們排隊(duì)”的生動(dòng)情境，由一維（只有一行或一列）到二維（幾列幾行），讓學(xué)生明確：只有一列或一行時(shí)，確定方向后一個(gè)數(shù)就能確定佩奇的位置，幾列幾行時(shí)，一個(gè)數(shù)就不能確定佩奇的位置了，要兩個(gè)數(shù)才能確定佩奇的位置，進(jìn)而明確數(shù)對的標(biāo)準(zhǔn)——先列再行，不能顛倒，一個(gè)數(shù)對確定一個(gè)位置，學(xué)生在排隊(duì)中體會(huì)位置與數(shù)對之間的一一對應(yīng)思想。

師：同學(xué)們，看，誰來了呀？（視頻）今天佩奇和小伙伴們要給大家表演節(jié)目，瞧，它們上場了。

師：我們從這個(gè)角度觀察，動(dòng)物們排成一行，佩奇排在第幾個(gè)？

生：從左向右數(shù)佩奇排在第2個(gè)，從右向左數(shù)佩奇排在第5個(gè)。

師（小結(jié)）：是呀，數(shù)的方向不同，位置的表達(dá)就不同。

師（出示箭頭）：這樣呢？

生：從左向右數(shù)佩奇排在第2個(gè)。

師：那它的位置可以用哪個(gè)數(shù)來表示呢？

師：從左向右佩奇排在第2個(gè)，用2這個(gè)數(shù)就能確定佩奇的位置。

師：注意！變隊(duì)形了，動(dòng)物們排成了一列（用箭頭和數(shù)同時(shí)出示），現(xiàn)在佩奇的位置可以用哪個(gè)數(shù)來表示？

師：我們一般說從前向后數(shù)佩奇排在第4個(gè)，用4這個(gè)數(shù)就能確定它的位置。

師（小結(jié)）：看來只有一列或一行時(shí)，統(tǒng)一方向后我們用一個(gè)數(shù)就能確定位置。

師：小動(dòng)物們來排隊(duì)，現(xiàn)在還能用一個(gè)數(shù)來確定佩奇的位置嗎？佩奇的位置在哪里？你是怎么觀察的？

師：同學(xué)們，佩奇的位置只有一個(gè)，為什么會(huì)有這么多不同的說法呢？

師：看來，想要確定位置，我們需要一個(gè)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

……

師：按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，佩奇的位置怎么確定？你是怎么知道的？先和同桌說一說。

師：從左向右數(shù)佩奇排在第4列，從前向后數(shù)佩奇排在第3行，它的位置就是第4列第3行。誰能像這樣來完整地說一說？

師：照這樣，你能說說喬治的位置嗎？

師：佩奇好朋友的位置在第2列第4行，你能在圖上找到它嗎？誰來指一指。

師（小結(jié)）：我們用第幾列第幾行就能確定位置。

……

師：數(shù)對（4，3）表示什么意思？

師：那你覺得寫數(shù)對時(shí)要注意什么？（先寫列，再寫行）

師（小結(jié)）：你的理解真到位，這是兩個(gè)有序的數(shù)，先列再行，不能顛倒。一個(gè)數(shù)對只對應(yīng)一個(gè)位置，它們是一一對應(yīng)的。

以上教學(xué)片段，學(xué)生在排隊(duì)中身臨其境，利用數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生體會(huì)對應(yīng)思想。在這樣的教學(xué)中，教師有意識(shí)地讓學(xué)生先在一維空間中體會(huì)一個(gè)數(shù)對應(yīng)一個(gè)位置，再到二維空間中體會(huì)兩個(gè)數(shù)才能對應(yīng)一個(gè)位置，學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)中，一維到二維體會(huì)對應(yīng)思想的同時(shí)，提高了分析問題和歸納問題的能力;學(xué)生在認(rèn)知沖突中，從一個(gè)數(shù)到兩個(gè)數(shù)，加深對應(yīng)思想中孕伏的函數(shù)思想，體會(huì)數(shù)對中變與不變的聯(lián)系，從而深刻理解數(shù)對的知識(shí)。

二、從直觀到抽象，滲透模型思想

從廣義角度來看，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。模型思想就是學(xué)生在面對具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠運(yùn)用實(shí)驗(yàn)觀察、體驗(yàn)操作、比較分析、綜合概括等活動(dòng)得到簡化的容易理解的數(shù)學(xué)模型，是把生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題模型的一種思想方法。在這節(jié)課的教學(xué)中，教師從實(shí)物（動(dòng)物）圖到圓圈圖，再從圓圈圖到方格圖，再從方格圖拓展為以O(shè)為原點(diǎn)的格點(diǎn)圖，最后抽象成直角坐標(biāo)系，學(xué)生從直觀一步一步進(jìn)行抽象，在經(jīng)歷數(shù)對形成的過程中，數(shù)學(xué)模型也隨著抽象的過程越來越得以滲透，加深了思維的深度。

師：其實(shí)每個(gè)小動(dòng)物都在某一列和某一行的交叉點(diǎn)上（PPT），如果每個(gè)小動(dòng)物都用一個(gè)圓圈表示，這樣就得到了一張圓圈圖。對比剛才，你覺得這樣的圓圈圖看起來怎么樣？

生：簡潔清晰，一目了然！

師：在圓圈圖上，我們用紅圈代表佩奇，誰來說一說佩奇的位置？

生：佩奇在第4列第3行。

師：藍(lán)圈代表喬治，粉圈代表蘇西，誰來說說它們倆的位置？

師（小結(jié)）：我們用第幾列第幾行就能確定位置。

師：圓圈圖上，淘氣的佩奇開始和我們玩起了捉迷藏，它會(huì)藏在哪兒呢？請你仔細(xì)觀察佩奇的位置，并在練習(xí)紙第一題記錄下來！

時(shí)間到！一起來看這幾位同學(xué)的記錄。

交流：（1）第一個(gè)，怎么沒寫完呢？（太快，來不及）（2）再看這位同學(xué)的，他寫了2列3行，表示什么意思？（3）再來看這位同學(xué)的，他就寫了2個(gè)數(shù)（6? ?5）你知道表示什么意思嗎？

師：這些方法，每一個(gè)位置都用了幾個(gè)數(shù)來記錄的？

師：原來，2個(gè)數(shù)就能確定佩奇的位置了。

師：那這些方法中，你更欣賞哪一種？

師：大家都非常有數(shù)學(xué)的眼光，想知道數(shù)學(xué)家是怎么表示的嗎？

（錄音）：第4列，第3行，先寫4表示第4列，再寫3表示第3行，兩個(gè)數(shù)表示的意思不同，所以中間用逗號(hào)隔開，因?yàn)?和3放在一起才能表示一個(gè)完整的位置，所以兩邊要打上括號(hào)（紅色），這種表述方法在數(shù)學(xué)上叫做數(shù)對。讀作“數(shù)對四三”也可以直接讀“四三”。

師：我們一起來讀一讀：數(shù)對四三或四三。

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：用數(shù)對確定位置。

……

師：如果我們用線把這些圓圈連起來，就得到了一張方格圖。

師：佩奇和喬治來到了豬爺爺家的菜園。你能用數(shù)對來表示這個(gè)綠塊的位置嗎？

……

師：世界那么大，佩奇想出去走一走。現(xiàn)在它的位置是？

現(xiàn)在，它走到了哪里？

師：那怎么辦呢？

師：我們可以用這樣的方格圖表示列與行，列數(shù)與行數(shù)都是用0作為起始刻度，它又叫作原點(diǎn)。佩奇的位置是？（7，6）

師：淘氣的佩奇又走到了這里，你知道它的位置嗎？你是怎么想的？（-1，5）

師：現(xiàn)在呢？（-2，-1）

師：哇，你可真厲害！已經(jīng)知道初中的知識(shí)了！這是我們初中要學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)系。

以上教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)歷實(shí)物圖—圓圈圖—格點(diǎn)圖—直角坐標(biāo)系的抽象，同時(shí)經(jīng)歷著第幾列第幾行——數(shù)對（x，y）的抽象，由直觀到抽象，形成了概念、圖象、關(guān)系等數(shù)學(xué)模型，滲透模型思想不僅能夠幫助學(xué)生分析解決數(shù)學(xué)問題，更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力。

三、從基礎(chǔ)到拓展，感悟類比思想

類比思想是指把兩個(gè)或兩類不同的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，依據(jù)兩個(gè)或兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上的思想。數(shù)學(xué)中的類比就是學(xué)生通過觀察比較，感知發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的“同”與“異”，從而更有效地解決問題。本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)對之后，教師設(shè)計(jì)了形式各樣的鞏固練習(xí)，從基礎(chǔ)到拓展，抓住不同數(shù)對的共同點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類、歸納;找到類似數(shù)對中的不同點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遞進(jìn)性與復(fù)雜性，從而更有興趣地解決實(shí)際問題。

1. 師：佩奇想來考考大家，請聽。

（1）錄音：我說數(shù)對你定位置。請你用水彩筆在練習(xí)紙的第3題，涂出相應(yīng)的位置，準(zhǔn)備好了嗎？數(shù)對（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

師：仔細(xì)觀察，這些數(shù)對有什么特點(diǎn)？

師：如果點(diǎn)的位置都在第5列，這些數(shù)對又會(huì)有什么特點(diǎn)呢？

師（小結(jié)）：是啊，同一列的數(shù)對中，第一個(gè)數(shù)相同。

（2）師：佩奇還想考考你。繼續(xù)聽。

錄音：我定位置你寫數(shù)對。我要找的點(diǎn)的位置，都在第3行，想想有哪些數(shù)對？在點(diǎn)子圖上涂一涂，寫一寫。

師：誰來說一說你寫的數(shù)對？

師：好樣的！比一比這些數(shù)對，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師（小結(jié)）：看來，同一行的數(shù)對中第二個(gè)數(shù)相同。

（3）師：這8個(gè)數(shù)對都在第3行，你能用一個(gè)數(shù)對來概括嗎？

瞧，佩奇用了這個(gè)數(shù)對，誰來讀一讀：數(shù)對（x，3）。

師：（x，3）在這里可以表示哪些數(shù)對？

師：如果圓圈圖夠大（課件），（x，3）還可以表示哪些數(shù)對？

師（小結(jié)）：看來，任意一列的第3行都可以用數(shù)對（x，3）表示。

2. （1）師：看大家表現(xiàn)得這么棒，佩奇想送一個(gè)禮物給大家，禮物就在我們的教室里，它藏在數(shù)對（x，y）中，數(shù)對（x，y）表示什么？你是怎么想的？

師：數(shù)對（x，y）表示第x列，第y行，列確定嗎？行呢？

表示的是全班同學(xué)，你有機(jī)會(huì)獲得這個(gè)禮物嗎？

（2）很遺憾，禮物只有一個(gè)，縮小范圍 ，禮物藏在數(shù)對（x，x）中。

師：想一想，這里可以表示哪些數(shù)對？

師：真棒！數(shù)對（x，x）表示第幾列和第幾行相同。

是哪些同學(xué)呀，請起立！

（3）師：能確定禮物在哪里了嗎？還不行，再給一個(gè)條件（3，x），禮物在哪呢？

師：這位同學(xué)看看你的課桌里有沒有禮物？哇，這是一張禮物券，課后到老師這來兌換，全班一起分享。

3.（1）師：如果我們用線把這些圓圈連起來，就得到了一張方格圖。

師：佩奇和喬治來到了豬爺爺家的菜園。你能用數(shù)對來表示這個(gè)綠塊的位置嗎？

師：如果把這個(gè)綠塊平移2格，你想怎么平移，它會(huì)在哪個(gè)位置？

師：你是怎么平移的？綠塊的位置是？（3，6）（3，2）（1，4）（5，4）

師：仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師（小結(jié)）：上下平移2格，列數(shù)不變，行數(shù)相差2。左右平移2格，行數(shù)不變，列數(shù)相差2。

（2）師：佩奇和你們想的一樣，它把綠塊平移到了這個(gè)位置。（3，6）如果把它看作一個(gè)整體，繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，綠塊（3，4）的位置旋轉(zhuǎn)到了哪里？（3，6）呢？ （4，4）（6，4）

師：繼續(xù)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，綠塊的位置又會(huì)到哪呢？小組討論一下。

師：對不對呢？我們一起來看，恭喜你們答對了！

師：看，綠塊的位置發(fā)生了變化，數(shù)對也在變化，它們是一一對應(yīng)的，雷達(dá)就是利用這個(gè)原理進(jìn)行工作的。

以上教學(xué)片段，每一個(gè)練習(xí)都分層設(shè)計(jì)，由基礎(chǔ)到拓展，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，趣味性與鞏固性并存，學(xué)生在快樂的氛圍中觀察比較、鞏固提升，通過類比思想中的“同”與“異”，潛移默化地影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生養(yǎng)成了用類比思想思考問題的好習(xí)慣，掌握了解決問題的方法，提升了學(xué)生的創(chuàng)造能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

美國教育家布魯納提出：掌握了基本的數(shù)學(xué)思想和方法，能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更易于理解和記憶。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生通過形式多樣的活動(dòng)完成有意義的數(shù)學(xué)研究，習(xí)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。這樣，不僅解決了數(shù)學(xué)問題，更提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，數(shù)學(xué)思想也一步一步得以滲透與培養(yǎng)。