小學數學典型錯例分析及矯正策略

數與代數

【錯例】

下圖顯示了京東2019 年“雙十一”期間累計下單金額和快遞員累計送貨距離情況。看圖回答：下單金額省略億后面的尾數，約是（204 億或460億）元。

正確答案：下單金額省略億后面的尾數，約是（2044億）元。

【診斷】

1.數學應用意識欠缺。

學生課堂學習及日常練習中較少接觸到現實情境中第一手原生態的素材，導致數學應用意識較為淡漠，對真實數據的分析及挖掘能力較差。

2.中外計數方法差異的影響。

我國的多位數計數習慣是從個位起，每四個數位是一級；英、美等國家讀寫大數時采用三位分節的方法。為了便于國際交往，我國財經、統計等部門寫數時也采用三位分節法。錯誤多源于對三位一節的辨析不夠清晰。

【對策】

1.理解多位數讀寫的歷史。

讓學生了解知識的緣起，知道數學知識的發生和發展的歷程，有助于他們在更廣闊的數學文化背景中思考數學之用，并感悟數學精神。教學中，組織學生討論，遠古人類怎樣記數？如果數量再多一些，該怎么做？啟發學生思考，多位數讀寫中有哪些重要約定？然后教師出示古今中外的記數和計數方面不同的方法，學生感受數學是人類文明進步的產物，再概括“十進制”的本質，建構數字的位置關系和數位順序，進一步理解聚少成多的大數所包含的統計學意義。

2.熟悉生活情境中的大數據。

近年來，基于生活應用的深度學習逐漸形成共識。教學“大數的認識”時，布置學生在課前或課后從報紙、電視及網絡上收集多位數，了解多位數在日常生活和現代科技等方面有著廣泛的應用，并從宏觀及微觀角度接觸生活中大數的一般取值范圍。如，人體細胞約有40萬億～60萬億個；2018年我國稻谷播種面積為30189 千公頃，大米產量達2.12 億噸；2018 年，全年國內生產總值900309億元，全年貨物進出口總額305050億元……課堂中教師可以集中展示、交流反映新中國建設成就的系列數據，以此激發學生較為強烈的愛國熱情與民族自豪感。

【練習】

（1）北京時間2019 年4 月10 日，全球六地聯合召開新聞發布會，公布了人類歷史上首張黑洞照片，此次發布的黑洞圖像揭示了M87 星系中心的黑洞，它距離地球5500 萬光年，改寫成以“億”為單位的數是（ ）光年；其質量約為太陽的6 500 000 000倍，這個數讀作（ ）。

（2）2018 年末中國大陸總人口：139538 萬人，從性別結構看，男性人口71351 萬人，女性人口68187 萬人。根據上述信息將三個人口數改寫成以“億”為單位的數，并保留兩位小數：139538 萬≈（ ）億；71351 萬≈（ ）億；68187 萬≈（ ）億。

（3）一個兩位小數保留整數是10，這個數最小是（ ），最大是（ ）。

【錯例】

43-x=38

解：43-x+43=38+43

x=81

檢驗：方程左邊=43-x=81-43=38

=方程右邊

所以，x=81是方程的解。

正確答案：

43-x=38

解： 43-x+x=38+x

43=38+x

x+38=43

x+38-38=43-38

x=5

檢驗：方程左邊=43-x=43-5=38

=方程右邊

所以，x=5 是方程的解。

【診斷】

1.對解方程的理解不到位。

錯例中將43-x=38 和x-43=38 混為一談。在運用等式性質解答時，方程兩邊同時“+43”后，方程左邊“43-x+43”并不能化簡得到x。對于方程中43、x、38三個數的關系缺乏整體認識。

2.檢驗環節沒有認真演算。

錯例中的檢驗沒有將數值與x原地替換，而是想當然地調整位置，從而讓檢驗失去糾錯功能。

【對策】

1.加強方程理解和比較。

在五年級“簡易方程”單元中，形如a-x=b和a÷x=b是極易出錯的兩種類型，一般需要經過兩次的等式變換，解答書寫步驟較多，學生會因為書寫的繁瑣而認為這類方程很難。教學中要帶領學生仔細梳理每一步的目的及依據，并注意加強同一種運算中不同方程類型的比較，如43-x=38和x-43=38、20÷x=4 和x÷20=4 等。不管教學哪種類型的解方程，最初都要強調列方程的本質，讓學生經歷建立方程模型的過程，并注意歸納整理不同類型的方程的一般解法。

2.溝通方程的解法聯系。

為了更好地做好中小學教學銜接，必須重視以等式性質為依據的解法。大部分學生熟悉這種思路后，可以簡要介紹利用算式各部分之間關系為依據的解法。如，減數=被減數-差，43-x=38 中，x=43-38 ，x=5。注意和以前習題的聯系，喚醒已有解題經驗，實現數學知識和思想方法一體化建構。如將43-x=38 中未知數遮蓋轉化為學生在低年級學習中就接觸過的43-□=38。

3.規范方程的檢驗回顧。

檢驗是把未知數的值代入原方程再計算比較的過程，也是自我糾錯的保證。教學中，要強調代入原方程時的位置不變和認真計算等要求，發現錯誤要及時查找原因并改正。

【練習】

解方程：

（1）2.1÷x=7

（2）2（16-x）=8

（3）3x-x=2.4

（4）15+5x=60

【錯例】

計算下面各題，能簡算的要簡算。

正確答案：

【診斷】

1.抗干擾能力較差。

學生簡算能力不夠強大時，“能簡算的要簡算”是很大的干擾，特別是面對能夠“湊整”的兩個數時。

2.缺乏估算意識。

估算作為計算的一種，可以評判精確計算的結果。特別是運算前的估算，會更關注算式的結構和結果取值范圍。學生在四則混合運算（包括簡算）時，通常缺乏估算這方面的訓練。

【對策】

1.注重解題完整性訓練。

簡算教學中，要堅持少練和精練，不搞淺嘗輒止的口頭練習，要注重解題的完整，從題目審題到過程書寫，從錯誤預判到結果回顧，都要花足時間，從而提高簡算的正確率。

2.加強變式練習。

通過變式訓練，對習題靈活變通，多元表征，引申推廣，從而發現解題規律，加深對知識的理解，達到舉一反三的目標。乘法分配律的應用從整數推廣到小數、分數乘法時，除了繼續加強學生對算理的理解外，還要加強學法的指導。

3.注重培養簡算意識。

對于有明確的簡算要求、明顯的簡算結構的習題，學生大都能準確應用運算律去簡算，而對于計算過程或實際問題解決中內隱的簡算環節，學生又常常想不到或不敢使用運算律簡算。簡算的教學應該貫穿在更為廣闊的問題情境和實際需求中。比如在稍復雜的購物問題、相遇問題的多種解法比較中，應促進學生自覺選擇運用乘法分配律。

【練習】

計算下面各題，能簡算的要簡算。

（1）19.2-12÷25-4.52

（2）1.25×32×2.5

【錯例】

某縣為鼓勵居民節約用水，特規定：每戶每月用水量不超過10立方米（含10立方米），每立方米2元；10立方米以上超過部分，每立方米4元。張麗家3月份用水18立方米，應交水費多少錢？

4×18=72（元）

答：用水18立方米應交水費72元。

正確答案：

18-10=8（立方米）

4×8=32（元）

2×10=20（元）

20+32=52（元）

答：用水18立方米應交水費52元。

【診斷】

1.沒仔細劃分計費的梯度。

學生沒有把用水總量按照題目要求仔細劃分為兩個部分，沒有學會用摘錄的方法收集和整理信息。

2.對分段計費問題缺乏實際思考。

學生出錯的原因還在于缺少生活調查和日常積累，不理解收費方案的價值導向。自來水單價從2元到4元，前提是倡導節約用水。其中，每立方米2 元的優惠是每家每戶都享有的，區別是超過10立方米的部分。

【對策】

1.回到原點去理解。

生活中坐出租車、用水用電、停車、個稅、折扣等項目，在有的地區常常涉及分段計費。教學時，首先要組織學生調查和交流，一開始就弄明白為什么這樣設計收費方案。比如，學生收集不同城市的出租車計費方案，思考定價方案的合理性。

2.回到起點來推算。

分段計費問題中計費主體有一個數量累積過程，其對應的錢數由少到多有規律地變化。教學中，不急于列式計算，先從最基本、最簡單的路程變化想起，列表整理。有了列表整理的活動經驗墊底，再出示折線統計圖，最后用分段計算的方法解答，一題多解就水到渠成了。在列表、畫圖、計算等循序漸進的教學處理中，學生不僅逐條逐句地解讀計費標準和里程條件，還深入探究分段計費問題的數量關系，形成舉一反三的解決問題能力，同時初步體會了函數思想。

【練習】

（1）小雪給《小學生必讀》編輯部投稿，信件要從江蘇徐州寄到河北石家莊，信件總重為49 克。為防止遺失，她想掛號郵寄，她要付多少元？（國內普通信函資費如下，單位：元）

__項目計費單位________重量在100克以內，每重20克（不足20克，按20克計）100克以上部分，每增加100克加收（不足100克，______________________________________________________按100克計）每件每件本埠（縣）_外埠0.80 1.20信函1.20 2.00明信片掛號費0.80______3.00______

（2）某公司出租汽車收費標準：里程3千米以內（含3千米）收費6元；3千米以外，每增加1千米收費1.5 元。小華乘出租車去少年宮行駛了4 千米，應付費多少元？小華爸爸從家乘出租車到火車站共付了18元，兩地的路程最多為多少千米？

【錯例】

一輛客車和一輛貨車同時從甲地開往乙地。2小時后，客車距乙地還有全程的，貨車距乙地還有55 千米。已知貨車每小時比客車少行15 千米，求甲乙兩地之間的路程。先在下圖中表示出相應的條件，再解答。

正確答案：

答：甲乙兩地之間的路程是175千米。

【診斷】

1.沒有全面把握題目要求。

本題包含畫圖分析和解答兩個要求。部分學生審題不嚴造成遺漏有關要求、導致解答不完整而失分。此題中，認真完成第一個要求標注出條件，對最后正確解題有很大的幫助。

2.量率對應關系解讀混亂。

根據題意和圖示可知，客車和貨車的路程差是兩個小時的，是（15×2）千米。換個角度，全程的對應的路程是（55-15×2）千米。本題的單位“1”是甲乙兩地路程，是未知量。要求單位“1”的量，用除法計算或者列方程解答即可。

【對策】

1.積累經驗，建立問題模型。

行程問題不僅涉及運動物體數量，還有運動方向和運動時間的限制，以及運動場景、運動距離等多種因素。不過，反映出來的數量關系是相同的，速度×時間=路程。教學中圍繞兩個物體運動的情況可以組織不同層面的操作和想象。比如，用雙手模擬物體運動變化，在雙手一張一合中體會“相向運動”（相遇問題）、“同向運動”（追及問題）和“相背運動”（相離問題）三種情況；畫路線圖表現運動結果，感受速度差、路程差和相遇地點等；觀摩體育課、運動會等活動場景，分析運動狀態，編制行程問題。

2.有的放矢，增強畫圖需求。

畫圖是一種重要的解題策略。為了畫圖而畫圖顯然不是教學追求。畫圖方法的教學重點要放在“畫圖需求”上，變“要我畫”為“我要畫”。教學中，教師要精選習題，由淺入深，逐步引發畫圖需求，促使學生認可畫圖的價值，意識到畫圖確實能夠更清楚地表示數量之間關系，發現解題前畫圖能夠幫助我們順利找到解題方法。然后題組辨析，不斷增強畫圖需求，引導學生從主觀和客觀兩個方面考慮要不要畫圖，突出畫圖選擇依據，感悟“畫圖即解題”的數學化思考。

【練習】

（1）甲乙兩車同時從A地出發駛往B地，經過一段時間后發現甲車已經行了全程的，乙車行了全程的。照這樣速度繼續行駛，甲車到B地后立即返回，在離B 地28 千米處與乙車相遇。AB 兩地間的路程是多少千米？

（2）“太陽將下西山坡，鴨子嘎嘎要進窩。一半的一半隨水波，四分之一岸上走，身后還跟八只鴨。”請問鴨子一共有（ ）只。

【錯例】

甲、乙兩袋面粉的質量比是2∶3。從甲袋倒出5 千克給乙袋后，甲、乙兩袋面粉的質量比變為3∶7，求兩袋面粉的總質量。

5÷（7-3）×（3+7）=12.5（千克）

正確答案：5÷（）=50（千克）

【診斷】

1.解題分析不到位。

對于其中甲乙兩袋面粉變化前后的兩個質量比分析不準確，沒有找準5 千克相當于總質量的幾分之幾。

2.關注變化不全面。

錯例中抓住乙袋份數變化情況來解題的思路是對的，疏漏之處在于沒有注意到變化前后總質量對應的總份數是不同的，這樣變化前后每份的量不一樣，就不能直接加減了。

【對策】

1.深入理解按比例分配中的對應關系。

按比例分配問題在生活中還是比較常見的，如混凝土、黑火藥、飲料配制、股票分紅等。教學時，不僅要組織學生交流，說明各是幾份，一共是幾份；還要理解各占總數的幾分之幾，從而將問題轉化為歸一、歸總問題，或者轉化為分數乘、除法的問題，在解法多樣化中深化理解。

2.研究變與不變，內化知識結構。

按比例分配的問題中，“不變量”有兩種類型：一是總量不變，二是某個部分量不變。不變量÷對應的份數，就能求出一份數，進而求出所要求的問題。從甲袋倒給乙袋，甲袋減少，乙袋增加，但是此消彼長中兩袋面粉的總量仍然不變。將兩個比對應的總份數統一為10 份，再比較和計算。如果是將甲袋倒出（用去）5千克，則乙袋是不變量，就把兩個比中的后項（乙袋）化成相同的數，然后根據質量變化求出一份即可。

【練習】

（1）2∶5的前項加上4，要使比值不變，后項應加上（ ）。

（2）小明今年上小學六年級，他的爺爺與爸爸的年齡之比是8∶5，爸爸與小明的年齡之比是10∶3。三個人的年齡比是（ ）。

（3）港珠澳大橋是中國境內一座連接香港、廣東珠海和澳門的橋隧工程，全長55千米，把它反映在比例尺為1∶250000的地圖上，長是多少厘米？

（仲崇恒）

圖形與幾何

【錯例】

圖中線段有（7）條，射線有（4）條，直線有（3）條。

正確答案：線段有（3）條，射線有（8）條，直線有（1）條。

【診斷】

1.概念不清。

學生對線段、射線和直線概念混淆不清，沒有正確認識線段、射線和直線概念的本質。

2.思考無序。

學生沒有按一定的順序或規律分類數出線段、射線和直線的條數，有序思維有待提高。

【對策】

1.厘清概念。

線段有兩個端點，有限長（有始有終）；射線有一個端點，無限長（有始無終）；直線沒有端點，無限長（無始無終）。除了借助前面括號里的成語幫助學生理解三種線的概念本質，還可以結合簡單的圖形幫助學生認識線段、射線和直線的表象特征。比如，讓學生找一找下圖中的線段、射線和直線。

2.有序思考。

引導學生按照一定順序分類別數線段、射線和直線，不能盲目地數，培養學生的分類思想和有序思維。因為線段有兩個端點，圖中圍成三角形ABC 的三條邊，每條邊都有兩個端點，所以線段有3 條，可以按順序得出線段AB、線段AC、線段BC。射線只有一個端點，數射線可以從它的這個特點入手，按順序以圖中三個交點A、B、C作為射線的端點來數。以點A為端點的射線有AB、AC這兩條，以點B 為端點的射線有3 條（讓學生逐一指出），以點C 為端點的射線也有3 條，所以射線共有2+3+3=8（條）。直線沒有端點，可以向兩端無限延長，顯然，符合這個特點的只有直線BC。

【練習】

1.判斷。

（1）一條直線長5厘米。（ ）

（2）直線比射線長。（ ）

（3）線段是直線的一部分。（ ）

2.數一數。

圖中線段有（ ）條，射線有（ ）條，直線有（ ）條。

【錯例】

平行四邊形相鄰的兩條邊為6 厘米和10 厘米，高是8厘米，這個平行四邊形的面積是多少平方厘米？

平行四邊形面積：10×8=80（平方厘米）

正確答案：6×8=48（平方厘米）

答：這個平行四邊形的面積是48平方厘米。

【診斷】

1.缺乏對應思想。

計算平行四邊形的面積用公式底乘高，但這里的底和高必須是對應的，不能隨便找一個底和高。這里學生認為只要是底乘高就是這個平行四邊形的面積，沒有考慮到底和高的對應關系。

2.思維不夠嚴謹。

學生被題目中的信息所干擾，未能對題目所提供的信息進行深入分析，無法觸及知識的本質，只是憑直覺使用平行四邊形計算公式解決問題。

【對策】

1.放手學生辨析。

這樣的題目呈現給學生，一般會出現兩種算式：6×8=48（平方厘米）和10×8=80（平方厘米）；三種意見：認為正確答案是48 平方厘米、80 平方厘米或兩種結果都是正確的。教師不妨放手讓學生進行自由辨析，在辨析中尋錯、析錯和改錯，這樣主動思維和探索往往可以使他們的認知由模糊走向清晰，從而實現對自己認知結構的調整和擴展，進一步提升思維的嚴謹性。

2.揭示問題本質。

引導學生利用直觀圖形深入領悟知識的本質。追問：為什么答案是6×8＝80（平方厘米）而不是10×8=80（平方厘米）？學生會對照示意圖解釋：圖1從平行四邊形的一個頂點向10厘米長的底邊作高，得到一個直角三角形，斜邊在這個直角三角形中是最長的線段，它的長度是6厘米，所以直角邊不可能是8厘米；圖2從平行四邊形的一個頂點向6厘米長的底邊作高，得到一個直角三角形，斜邊在這個角形中是最長的線段，它的長度是10厘米，直角邊一定比斜邊小，這里直角邊可以是8厘米，所以這里的平行四邊形面積要用6×8 的算式來計算。

圖1

圖2

【練習】

1.計算下面圖形的面積。

2.平行四邊形的底是12 米，它的兩條高分別是10米和14米，這個平行四邊形的面積是多少平方米？

【錯例】

有一塊長方形菜地，長是30米，寬是18米，如果要把這塊長方形菜地平均分成面積相等的3小塊長方形菜地，每小塊長方形菜地的周長是多少米？

原來周長：（30＋18）×2=96（米）

每小塊周長：96÷3=32（米）

正確答案：

圖1

圖2

圖3

圖4

圖1：

圖2：

圖3：

另一塊小長方形菜地周長算法同圖1；

圖4：

另一塊小長方形菜地周長算法同圖2。

【診斷】

1.概念理解不清晰。

圖形的面積和周長是兩個不同的概念，它們的計算方法也不一樣。實際生活中把一個平面圖形平均分成若干份，面積可以均分，周長不可以均分。這里學生錯誤地以為把周長平均分成3份，就是把周長除以3。

2.考慮問題不全面。

同等面積的條件下，計算平面圖形的周長要考慮這個圖形的具體形狀，這里學生沒有從多角度去思考問題。

【對策】

1.圖形直觀。

畫圖可以幫助學生直觀理解題意，降低思維難度，有助于快速找到解決問題的方案。其實學生只要畫出示意圖，把要求的周長在圖上描出來，就很容易看出小長方形周長不是原來大長方形周長的均分，而是由原來長方形兩條線段和等分后兩條線段圍成的。

2.發散思維。

可以讓學生拿出一張長方形紙，把這張紙看成這塊地，動手分一分，重點強調讓學生探索有哪些不同的分法，發散學生的思維。如果能給足學生探索的時間，學生的思維往往會讓教師驚嘆，學生也會體悟多向思維解決數學問題的魅力。

【練習】

1.用同樣長的繩子圍成的長方形和正方形的面積（ ），周長（ ）。

A.長方形大 B.正方形大

C.一樣大 D.不能確定

2.用同樣大小同樣數量的小正方形拼成的長方形和正方形的面積（ ），周長（ ）。

A.長方形大 B.正方形大

C.一樣大 D.不能確定

3.如圖，有一塊菜地，長35 米，寬29 米，菜地中間留了寬1米的路，把菜地平均分成四塊，每塊的面積是多少？

【錯例】

一個水瓶可以盛750毫升，這是水瓶的（B）。

A.體積 B.凈含量 C.容積

正確答案：C

【診斷】

1.概念運用不靈活。

這道題實際上考查了學生對概念的理解和運用。一般選錯的學生對體積和容積還是能夠區分的，但對凈含量概念的理解比較模糊。

2.審題比較隨意。

很多學生選擇了“凈含量”，主要是覺得題目中并沒有說明裝滿水，憑感覺選擇了B選項，如果讓他們反復讀題，仔細推敲也能做對。

【對策】

1.聯系實物，認識概念。

這道題錯的主要原因是對凈含量概念理解不夠清晰。可以讓學生尋找生活中標注凈含量的物體，明確食用油、盒裝奶、酒類等物體上標注凈含量的實際意義，用生活實例幫助學生建立概念表象。

2.重視比較，揭示本質。

在教學中可以讓學生聯系生活去比較體積、容積以及凈含量的不同。凈含量指的是除去包裝容器和其他包裝材料后內裝商品的量。凈含量的注明公制單位有克、千克、毫升、升等。容積是指容器所能容納物體的體積，也就是說容器裝滿物體后物體的體積才是容器的容積。一般來說，固體的容積單位與體積單位相同，而液體和氣體的容積單位一般用升、毫升，計算方法同體積。如長方體玻璃魚缸，從外面量出的長×寬×高，計算的是體積；里面量出的長×寬×高，計算的是容積；里面量出的長×寬×水面的高，計算的是魚缸內水的體積。

【練習】

1.一臺冰柜，從外面量，長1 米，寬0.6 米，高1.1米；從里面量，長9分米，寬4.5分米，深6分米。

（1）這臺冰柜所占的空間有多大？

（2）這臺冰柜的容積是多少？

2.一個花壇，高0.5米，底面是邊長1.2米的正方形，四周用磚砌成，磚墻的厚度是0.2米，中間填滿泥土。

（1）花壇所占的空間有多大？

（2）花壇里大約有泥土多少立方米？

【錯例】

如圖，有一個長5分米、寬3分米、高4分米的長方體硬紙箱，用繩子將箱子捆扎起來，打結處共用1.5分米。一共要用多長的繩子？

（1）(5+3+4)×2+1.5

=12×2+1.5

=24+1.5

=25.5（分米）

（2）(5+3+4)×4+1.5

=12×4+1.5

=48+1.5

=49.5（分米）

（3）5+3+4×2+1.5

=8+8+1.5

=17.5

（4）5×4+3×4+4×5+1.5

=20+12+20+1.5

=53.5

正確答案：

（5+3）×2+4×4+1.5

=16+16+1.5

=32+1.5

=33.5（分米）

答：一共要用長33.5分米的繩子。

【診斷】

1.概念本質認識不清。

學生直接運用長方形周長計算公式和長方體棱長和計算方法，說明學生對長方形周長和長方體棱長和這兩個概念缺乏本質的理解。學生只會在簡單的圖形中運用長方形的周長和長方體棱長計算公式，部分學生只記住了長方形的周長是兩個已知數字相加再乘以2和長方體的棱長是三個已知數相加再乘以4。

2.空間想象能力缺乏。

多數學生在計算捆扎這個長方體繩子長度時，都是看圖數出每個面根數（線段）再計算的，但在計算時，由于空間想象能力的缺乏，能正確數出長寬高根數的學生為數不多。“5+3+4×2+1.5”這種算法的學生只數出能從圖上直接看到的繩子（線段）；“5×4+3×4+4×5+1.5”這種算法的學生不僅數出圖上直接看到的繩子（線段），還把圖上能看見的長方體棱長數進去了。

【對策】

1.重視算法多樣化。

教學中不要過早強化用公式計算周長和棱長和，讓學生經歷按順序“數線段”“算總長”的過程。在學習初始階段推遲使用公式計算的好處是學生可以充分理解算法的道理，避免形成思維定勢。比如學習計算長方形的周長，引導學用多種方法來計算周長，學生自己的算法“長+長+寬+寬、長×2+寬×2、長+寬+長+寬”，這些方法看起來比較麻煩，但它有助于學生真正理解長方形和正方形的周長是四邊之和。一段時間后，學生會明白長加寬的和就是半個長方形的周長，再乘以2 就是一個長方形的周長。此時他們才真正理解了公式“（長+寬）×2”的意義。

2.聯系生活直觀演示。

讓學生親自動手用毛線捆扎一個長方體物體，觀察捆扎后各個面上毛線的根數和特點。實物和圖形直觀演示是幫助學生解決圖形問題的主要教學策略，因為實物和圖形的直觀性很強，容易被學生認識和理解，也容易使學生建立起空間觀念。利用“實物和圖形”也就是運用和借助實物和圖形讓學生通過觀察、比較、綜合、抽象、分析等方法認識客觀事物，這是幫助學生建立空間觀念最好的途徑。

【練習】

1.如圖，有一個長5 分米、寬和高都是3 分米的長方體硬紙箱，如果用繩子將箱子橫著捆兩道，長著捆一道，打結處共用2.5 分米。一共要用多長的繩子？

2.用塑料繩捆扎如圖的一個圓柱形的蛋糕盒，交叉處是底面圓心，打結用去繩長25厘米。

（1）做這個蛋糕盒大約要用硬紙板多少平方厘米？

（2）捆扎這樣的一個盒子至少用去塑料繩多少厘米？

【錯例】

用48 厘米長的鐵絲做一個長方體的框架，長、寬、高之比為3∶2∶1，求這個長方體的體積是多少立方厘米。

3+2+1=6

體積：24×16×8＝3072（立方厘米）

正確答案：

48÷4＝12（厘米）

體積：6×4×2＝48（立方厘米）

答：這個長方體的體積是48立方厘米。

【診斷】

1.圖形表象不清晰。

這道題在學生頭腦建立的表象是：48 厘米是這個長方體的長、寬、高三條棱的長度。實際僅憑長、寬、高三條棱是不能做成長方體框架的，做錯這道題的學生頭腦中沒有長方體框架表象。

2.數量關系不對應。

一般按比例分配問題量、比是可以直接對應的。比如甲、乙、丙總和為n，甲、乙、丙三個數的比例是a:b:c，這里總量的和n與比的和（a+b+c）是對應的，可以直接用按比例分配的方法解決問題。本題的總量48 厘米長的鐵絲是長方體12 條棱長的總和，比的和是長、寬、高三條棱的總和，明顯不對應。

【對策】

1.明晰圖形表象。

引導學生先回憶長方體的組成，想象出長方體模型的框架：它是由幾條棱組成的？這些棱可分成幾組？再讓學生畫出框架圖，在圖上指出48 厘米的鐵絲包含這個長方體的哪些棱長。

2.強調對應關系。

由于大量接觸按比例分配的練習，學生頭腦中已經形成一個由表面文字所營造的表象。這些文字所建立的表象往往會造成學生思維定式。通過重新分析題意，學生把題目中的文字轉換成清晰的實物表象，有助于學生突破思維定式，引導學生弄清長度和與比的和的對應關系，學生就能清晰想到以下思路（1）48 與（3+2+1）×4 對應；（2）48÷4與3+2+1對應，從而實現順利用按比例分配方法解決問題。

【練習】

1.有一塊長方形菜地，量得這塊菜地四周的籬笆長36米，長和寬的比是5∶4，這塊長方形菜地的面積是多少平方米？

2.利用一面墻壁作為一條邊，用36 米的籬笆圍成一塊長方形地（如圖）。已知這塊地長和寬的比是5∶2，求這塊地的面積是多少平方米？

【錯例】

把一個長、寬、高分別是10 厘米、8 厘米、6 厘米的長方體橡皮，切成一個圓柱。切成的圓柱體積最大是多少立方厘米？

V=Sh=π×（6÷2）2×10=π×9×10=90π（立方厘米）

正確答案：

方案一：切成的圓柱高為10厘米。

π×（6÷2）2×10=π×9×10=90π（立方厘米）

方案二：切成的圓柱高為8厘米。

π×（6÷2）2×8=π×9×8=72π（立方厘米）

方案二：切成的圓柱高為6厘米。

π×（4÷2）2×6=π×16×6=96π（立方厘米）

96π＞90π＞72π

答：切成的圓柱體積最大是96π立方厘米。

【診斷】

1.思維缺乏嚴密性。

認為把圓柱的高確定為最大，算出的體積就是最大。先在8×6 的長方形底面上截取一個直徑為6厘米的圓，再用這個圓的面積乘10相乘。盡管算出的結果可能碰巧是最大值，但這樣的思維方法顯然不嚴密。

2.思維缺乏整體性。

解答這道題時，學生想當然地就做出一種答案，并不考慮算出的結果究竟是不是題目要求的“最大值”。實際上是學生不會從整體上把握問題的關鍵，不善于全面考慮問題。

【對策】

1.解析錯例。

單憑一個數量，是無法確定其是否是最大值。有比較，才有大小、多少之分，通過同類數量的比較得出結論才有說服力。如果這道題只算出一個數量，即使是這道題的正確答案，這種思考方法也要不得，缺乏依據。

2.觀察想象。

指導學生拿出身邊的長方體實物或長方體學具，讓學生觀察并想象如果把手中的長方體物體切成盡量大的一個圓柱，會切成什么樣的圓柱體？通過指導學生觀察、想象，讓學生目中有“物”，心中有“形”，引導學生討論圓柱體的高或底面的直徑分別有幾種情況。

3.整體考慮。

引導學生從整體考慮，多角度思考問題。這里解決圓柱體積問題需要考慮這個圓柱體的高和底面的直徑數值，實際上，長、寬、高有三種數據，都可以作為圓柱的高，所以一共有三種高，也就有三種不同的圓柱。引導學生一一列舉出高是10 厘米時，底面直徑是6 厘米；高是8 厘米時，底面直徑是6 厘米；高是6 厘米時，底面直徑是8 厘米三種情況，計算并比較三種圓柱的體積從而得出答案。

【練習】

1.把一個長、寬、高分別是10 厘米、8 厘米、6厘米的長方體橡皮，切成一個正方體。切去部分的體積是多少立方厘米？

2.把一個長、寬、高分別是10 厘米、8 厘米、6厘米的長方體橡皮，切成一個圓錐體。切成的圓錐體體積最大是多少立方厘米？

【錯例】

將一個圓錐形零件浸沒在底面直徑是2分米的圓柱形玻璃缸里，這時水面上升3厘米。這個圓錐形零件的體積是多少立方厘米？

2分米=20厘米 20÷2=10（厘米）

正確答案：

2分米=20厘米 20÷2=10（厘米）

體積：π×102×3=300π（立方厘米）

答：這個圓錐形零件的體積是300π 立方厘米。

【診斷】

1.負遷移影響。

算圓錐的體積學生解題中一般都用公式“V=Sh”，受到圓錐的體積計算公式的負遷移影響，學生以為這道題與平常解決求圓錐體積問題相類似，只要找到圖形底面的直徑、半徑或底面積與高相關條件，就可以運用公式“V=Sh”解決問題。

2.條件不對應。

學生只想到用公式“V=Sh”求圓錐體積，沒有考慮到題目條件“底面直徑是2分米”和“上升3厘米”并不是圓錐的條件，而是圓柱的條件，題目中兩個已知條件不能用到圓錐體積計算公式中去。

3.思路不清晰。

本題看似是求“圓錐的體積”，實質是求“圓柱的體積”。學生不清楚要把“圓錐零件體積”轉化為“圓柱形水的體積”，即“上升的圓柱形水的體積”就是圓錐的體積。

【對策】

1.強調“對應思想”。

引導學生解決數學問題一定要考慮“對應”，不能張冠李戴，這里不能用圓柱的已知條件來隨便解決圓錐的體積問題。

2.運用“數形結合”。

引導學生自己畫出示意圖，對照圖意，學生理解問題的本質就輕松多了。

3.運用“轉化思想”。

可以利用“烏鴉喝水”的故事讓學生體會故事中“石子”把水“擠”上來，“擠”上來的水的體積其實就石子的體積。這個故事與這道題有異曲同工之妙，讓學生感悟“烏鴉喝水”故事蘊含的道理，再來思考這道題的解題思路，學生就會自覺地運用轉化思想：求圓錐形物體的體積轉化為求上升的圓柱形水的體積，從而輕松地解決問題。

【練習】

1.一個裝有水的長方體容器。從里面量長5分米、寬4分米，水深3分米，現在將一個鐵塊浸入水中，水面上升到4.2分米，無水溢出。這個鐵塊的體積是多少立方分米？

2.把一個體積是460 立方厘米的石頭投入一個足夠高的長方體容器中。完全浸入水中后，水面由148厘米上升到150厘米，這個容器的底面積是多少平方厘米？

3.在一個圓柱形儲水桶里，把一段底面半徑為5 厘米的圓柱形鋼材全部放入水中，這時水面上升9 厘米。把這段鋼材豎著拉出水面8 厘米，水面下降4厘米。求這段鋼材的體積。

【錯例】

一幢長方體建筑物，長80 米、寬60 米、高50米，為了美化城市夜景，要在建筑物的每條邊上裝上彩燈線，至少要準備多少米彩燈線？

（80+60+50）×4=760（米）

正確答案：

80×2+60×2+50×4=160+120+200=480（米）

答：至少要準備480米彩燈線。

【診斷】

1.思考比較淺顯。

學生審題中看到“長方體”“邊上裝上彩燈線”這些字眼，認為題目很熟悉、很簡單，就是求長方體棱長和問題，沒有進行深入思考。

2.生活意識薄弱。

學生就題解題，沒有結合生活實際看待數學問題，學以致用能力不足。

【對策】

1.重視審題習慣的培養。

教學中注意培養學生良好的審題習慣，對于每一道都要認真對待，讀懂、讀透題目的意思后，再下筆解答。多一分認真，少一分粗心；多一分思考，少一分錯誤。

2.培養應用意識。

教學密切聯系生活，加強學生數學應用意識的培養。指導學生經常用數學的眼光看待生活，用生活的眼光看待數學。考慮問題一定要聯系生活實際，靈活運用數學知識解決生活中的問題。

【練習】

1.大廳里有5 根柱子，每根柱子底面周長是3.14米，高3米。給5根這樣的柱子刷油漆，每平方米用油漆0.5千克，一共要用油漆多少千克？

2.一件雕塑的底座是用混凝土澆筑成的棱長2.6米的正方體。

（1）這件雕塑占地多少平方米？

（2）澆筑這件雕塑的底座需要混凝土多少立方米？

（3）給底座貼上花崗石，貼花崗石的面積是多少平方米？

（崇 沖）

統計與概率

【錯例】

李明與張潔玩一個游戲，有10 張紙牌，紙牌上的數字分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，每次隨意摸一張，摸到比5 大的牌算李明贏，摸到比5 小的牌就算張潔贏。這樣的游戲公平嗎？

這樣的游戲公平。

正確答案：這樣的游戲不公平。比5大的牌有5張，比5小的牌只有4張。

【診斷】

1．意義認識不清楚。

游戲公平性的本質是事件發生具有等可能性。這里學生只是憑借直覺把“比5大”“比5小”這對具有相反意義的事件與游戲的“贏”和“輸”建立對應關系，沒有考慮到游戲雙方摸到紙牌上數的出現情況是否具有等可能性。

2．考慮問題不全面。

學生在判斷這項游戲規則是否公平，只是想到這樣的規則能出現“贏”和“輸”的情況，沒有考慮到“贏”和“輸”情況出現可能性的大小，沒有細細分析“比5大”和“比5小”兩種情況的具體數量。而這里“比5 大”和“比5 小”數字出現情況個數是否相等，恰恰是這項游戲公平與否的關鍵考量。

【對策】

1．在實踐操作中去體驗。

事件發生可能性的大小是需要學生通過實踐去驗證的，在具體的游戲中參與，在實踐中體驗。因此，教學時要讓學生有充分的時間和空間，讓他們在操作中主動體驗游戲中不確定現象的特點，利用可能性的知識經驗判斷規則是否公平。

2．讓學生參與游戲的設計。

公平性的大小是基于了解事件發生的所有可能性進行判斷的，在日常教學中，可以讓學生參與游戲的設計，驗證可能性對雙方是否是等同的，從而調整游戲規則，使游戲公平。學生在此過程中建立規則意識，并通過游戲是否公平的判斷，感受游戲的公平原則。

【練習】

小張與小劉玩一個游戲，有9 張分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9的數字卡片，每次隨意摸一張，摸到比5大的卡片算小張贏，摸到比5小的卡片算小劉贏。這樣的游戲公平嗎？

【錯例】

一次數學檢測中，班級平均分是92 分，數學老師給第一小組記分如下：

姓名劉麗張小平李霞張大強孫笑劉海燕朱海華劉海飛分數2 0 1-3 4-3 3 4

你知道第一小組的平均分是多少嗎？

（2+0+1-3+4-3+3+4）÷8=1（分）

正確答案：

（2+0+1-3+4-3+3+4）÷8=1（分）

92+1=93（分）

【診斷】

1．概念認識停留在表面。

學生對于負數等概念的認識停留在表面，沒有聯系實際生活對負數進行深入了解，導致學生出現上面的錯誤。

2．缺乏知識構建。

教師在教學過程中缺少對學生的指導，學生數學思考不深入，導致數學概念的認知膚淺，制約了學生對負數意義的理解及合理運用。

【對策】

1．開展負數概念生活化練習。

數學知識來源于生活，也是生活的一部分。因此，學生掌握了負數的概念，應該進行針對性練習。例如，在日常生活中，觀察人們如何用負數進行記錄，用負數記錄后，又是如何進行有效表述的。

2．培養學生科學的檢驗意識。

這個題目的計算過程沒有問題，根據算式得到的結果也是正確的；但是卻與實際情況嚴重不符，無論哪次考試中，一個小組的平均成績也不可能是1 分。因此，要培養學生科學的檢驗意識，既有計算的檢驗意識，也要有計算結果與實際生活進行對比的檢驗意識。

【練習】

一次期中檢測，班級數學平均分是90 分，劉老師給第一小組記分如下：

姓名張笑李樂樂鄭小霞蘇小山劉歡劉春燕王曉蘭杜飛分數___3_____-2______1______-2_____4_____-2______6______4__

第一小組的數學平均分是多少？

【錯例】

寧寧在8張卡片上寫了從1到10這十個自然數中的8 個數。他說從這8 張卡片中任意摸出一張，摸到偶數的可能性是。在這8張卡片中寧寧寫了（5）個奇數。

正確答案：4

【診斷】

1.審題習慣不好。

很顯然，學生沒有把題目看完，或看完了不假思索，沒有注意到題目中的關鍵字詞，就開始提筆做題。

2.提取信息的能力不足。

學生遇到復雜題目時缺少應對策略，遇到數據信息比較亂的問題時，學生不能夠從條件中提取出解題需要的信息。

【對策】

1.培養學生良好的審題習慣。

審題，即通讀題目，完整、細致地理解題目所表述的意思。審題過程是挖掘信息的過程，也是遷移信息的過程，主要是讓學生學會對問題中所含的信息進行提取、組合、加工和表達。只有通過細心、認真的觀察和思考，抓住關鍵的信息，才能認清問題的本質，合理地選擇解題方法。

2.培養學生的信息提取能力。

在小學數學教學中，應該注重從三個方面來培養學生的信息提取能力：一是刪除多余的信息；二是找出隱含的信息；三是圈出關鍵的信息。

【練習】

小軍在6張卡片上寫了從1到10這十個自然數中的6個數（每張卡片只寫一個數字）。從這6張卡片中任意摸出一張，摸到偶數的可能性是，在這6張卡片中小軍寫了（ ）個偶數。

【錯例】

李明和爸爸周末騎車到距離市區30 千米的郊區春游，行程情況如圖所示：

（1）他倆去時花了（1）小時，中途休息了（1）小時，如果兩人中途不休息，（2）小時就可以到達目的地。

（2）他們在郊區共游玩了（6）小時。

（3）返回時，每小時行（5）千米。

正確答案：（1）2 0.5 1.5

（2）2.5

（3）20

【診斷】

1.獲取信息能力不足。

在日常教學中，教師對培養學生獲取信息的能力重視不足，學生對稍復雜圖形的分析經常不到位，因此不少教師會選擇直接告訴學生圖中的信息，缺少引導環節，學生從圖形中自主獲取信息的能力較差。

2.將生活中的事件提煉成數學題目的能力不足。

有些學生對此類題目審題能力相對較差，特別是綜合類型的題目，一方面是缺少練習，另一方面也是對生活事件提煉成數學題目的過程不夠了解。

【對策】

1．加強引導性分析。

在平時教學此類題目時，要用引導性的分析來幫助學生提高獲取信息的能力，特別是稍復雜的題目，一定要扎實地做好前期引導，只有這樣才能逐步培養學生獨立分析問題的意識與能力。

2．培養生活事件的數學提煉能力。

讓學生將生活中的一些事件，用語言、圖形、表格、統計圖等適合的形式表述出來。表述的過程，也是學生加深理解的過程。再遇到此類問題，學生對于圖形中的每一個地方就能夠理解并學會運用。

【練習】

小娜和小敏周末騎車到距離市區6千米的兒童游樂場游玩，行程情況如下圖所示：

（1）她倆去時花了（ ）分鐘，中途休息了（ ）分鐘，如果兩人中途不休息，（ ）分鐘就可以到達目的地。

（2）她們在郊區共游玩了（ ）分鐘。

（3）返回時，每分鐘行（ ）千米。

【錯例】

某同學從家出發，按一定速度步行去上學，途中天氣有變，他便跑步去學校。在下圖中（D）能正確地表示出他行走的路程與時間的關系。

正確答案：B

【診斷】

1．對數學知識圖像化理解不足。

此題中，時間與路程的變化如果用語言表述，可以簡述成：路程一定，時間越短，速度越快；路程一定，時間越長，速度越慢。大多數學生理解題意，卻不理解圖像。

2．數學知識運用能力不足。

生活中的數學知識提煉成數學問題時，很多學生解答起來卻無從下手。究其原因，主要是因為學生不能將數學問題與生活中的數學建立聯系，因而不能運用所學的數學知識去解答問題。

【對策】

1．培養學生的抽象思維能力。

小學生思考問題時側重于形象思維，抽象思維能力和邏輯思維能力還處于初級階段，而小學數學知識的抽象性特點使他們在學習時常常會感到枯燥、晦澀、乏味。

2．多種形式強化數學與生活的聯系。

數學知識生活化是一個長期的過程，在日常教學中，要運用多種形式，創設不同的情境來強化數學與生活的聯系，切實讓學生體會到數學來源于生活，服務于生活。

【練習】

一天，甲同學上學時，爸爸開車送他，車開到一半時，爸爸突然有事，要去其他地方，因此，他下車自己走到學校。下圖中（ ）能正確地表示出甲同學行走的路程與時間的關系。

（劉建華）