基于二次函數(shù)背景，探究角度的建構(gòu)策略

開遠(yuǎn)市教科所 趙宏偉

在近兩年的初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試壓軸題中，以二次函數(shù)為背景，構(gòu)造滿足角度要求的直線成了新的考點(diǎn).這類題目既考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，又考查靈活多變的構(gòu)造方法，既能凸顯學(xué)生的認(rèn)知水平，又需要融入一些技能、技巧和方法.下面，筆者通過幾個(gè)例題加以分析.

一、退守正切，構(gòu)造角度

解析：由于∠BDC 是確定的角，我們需要探究一下∠BDC 的度數(shù)或它的某一三角函數(shù)值，才能方便地構(gòu)造未知角.連接BC，考察△BCD 的形狀.由可得點(diǎn)B 的坐標(biāo)（4，0），由x=0 可得點(diǎn)C 的坐標(biāo)（0，-4）.又∵點(diǎn)D 的坐標(biāo)是（1，-5），∴BC＝，CD＝，BD＝.∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，tan∠BDC＝=4.要使∠MCE＝∠BDC，只需要tan∠MCE＝tan∠BDC＝4.∵點(diǎn)M 在線段BD 上，∴設(shè)直線BD 的解析式為y＝kx＋b.把點(diǎn)B，D 的坐標(biāo)代入這個(gè)解析式，得解得.∴直線BD 的解析式為.設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（x，）.∵∠MCD 是銳角，點(diǎn)C 的縱坐標(biāo)為-4，∴yM

圖1

方法感悟：求點(diǎn)M，使∠MCE＝∠BDC，可以轉(zhuǎn)化為探尋∠BDC的度數(shù)，進(jìn)而可以轉(zhuǎn)化為探究△BCD的形狀.通過推理計(jì)算，我們得到的結(jié)論為∠BCD是直角.由于∠BDC不是特殊角，于是退而守之，將原問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算∠BDC的正切值問題.在直角三角形中，一個(gè)角的正切值等于角的對(duì)邊比鄰邊，由此可以建立等量關(guān)系，進(jìn)而可以列出方程，求出相關(guān)的量，最終使原問題得以解決.

二、等腰三角形奠基，構(gòu)造二倍角

圖2

例2（2018·河南）如圖2，拋物線y＝ax2＋6x＋c 交x 軸于A，B 兩點(diǎn)，交y 軸于點(diǎn)C，直線y＝x-5 經(jīng)過點(diǎn)B，C，過點(diǎn)A 的直線交直線BC 于點(diǎn)M.連接AC，當(dāng)直線AM 與直線BC 的夾角等于∠ACB 的2 倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M 的坐標(biāo).

解析：∵直線y＝x-5 經(jīng)過點(diǎn)B，C，∴B，C 的坐標(biāo)分別是（5，0），（0，-5）.把這兩個(gè)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得解得a＝-1，c＝-5.∴拋物線的解析式為y＝-x2+6x-5.∴點(diǎn)A 的坐標(biāo)是(1，0)，點(diǎn)B 的坐標(biāo)是(5，0).

由構(gòu)造的角度是已知角的2 倍聯(lián)想到等腰三角形的頂角的外角是底角的2 倍，進(jìn)而想到以∠ACB 為等腰三角形的一個(gè)底角構(gòu)造等腰三角形，即可使原問題得以解決.如圖3 所示，作線段AC 的中垂線，交BC 于M，連接AM，則MC＝MA，∠AMB＝2∠ACB，點(diǎn)M 即為所求.∵點(diǎn)M 在直線BC 上，∴設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（x，x-5）.∵M(jìn)C＝MA，∴（x－0）2＋（x－5＋5）2＝（x－1）2＋（x－5－0）2.解得x＝.此時(shí)，y=x－5＝.∴點(diǎn)M 的坐標(biāo)是（）.

圖3

由于∠ACB 是銳角，我們還需要探究是否存在兩解.過A 作AH⊥BC，垂足為H.∵OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，△ABH 是等腰直角三角形，H 在線段AB 的中垂線上.∴點(diǎn)H 在拋物線的對(duì)稱軸上.∴點(diǎn)H 的坐標(biāo)為（3，-2）.∴AM＞AH.∴在線段BC 上還存在一點(diǎn)M′滿足條件，且M′與M 關(guān)于點(diǎn)H 對(duì)稱，即∠AM′M＝∠AMM′＝2∠ACB.∴由對(duì)稱性可得點(diǎn)M′的坐標(biāo)（）.

方法感悟：在構(gòu)造二倍角時(shí)，等腰三角形奠定了思考方向和方法.在求解壓軸題時(shí)，同學(xué)們只有提高了辨析力與反思力，并進(jìn)行全面探究，才能防止漏解.

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化，探尋特殊角

例3 （2019·貴州）已知拋物線y＝ax2＋bx＋3 經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y 軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P 為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，如圖4，點(diǎn)E 的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)G 為x 軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，∠OGE=15°.連接PE，若∠PEG=2∠OGE，請(qǐng)求出點(diǎn)P 的坐標(biāo).

解析：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3)，比較可得-3a=3.解得a=-1.∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.∵∠OGE=15°，∴∠PEG=2∠OGE＝2×15°＝30°.∵∠OGE＝15°，∴∠OEG=75°.又∵∠PEG＝30°，∴∠PEO＝45°.設(shè)PE 交x 軸于Q，則OQ＝OE.∴點(diǎn)Q 的坐標(biāo)是（-1，0）.∴直線PE 的解析式為y＝－x-1.由方程組得x2＋x－4＝0.解得x=.∵點(diǎn)P 在第二象限，∴舍去正值，保留負(fù)值，即x=.此時(shí)y=－x－1＝.∴點(diǎn)P 的坐標(biāo)是().

圖4

方法感悟：本題雖然是由特殊角轉(zhuǎn)化到特殊角，但是需要由表及里，深入挖掘已知條件，認(rèn)真觀察圖形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的等量關(guān)系.