研磨機(jī)床幾何誤差對(duì)金剛石刀面粗糙度的影響

龔維緯，王 偉，雷大江，關(guān)利超，崔海龍

(1.電子科技大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都 611731;2.中國(guó)工程物理研究院 機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽(yáng)621000)

金剛石刀具在超精密加工領(lǐng)域具有重要應(yīng)用. 金剛石刀具的微觀幾何形貌誤差是影響加工質(zhì)量的關(guān)鍵因素之一[1-2]. 目前，亟需高精度的金剛石刀具制造設(shè)備與技術(shù). 機(jī)械研磨法因具有較高精度、高研磨效率和低成本等優(yōu)點(diǎn)，是目前主流的金剛石刀具研磨方法. Zong等[3-4]對(duì)圓弧刃金剛石刀具的機(jī)械研磨工藝做了大量研究，針對(duì)金剛石晶體的各項(xiàng)異性，分析了不同參數(shù)下以不同晶面作為刀具前、后刀面的研磨結(jié)果，給出了不同制造需求下的晶面選用原則. 同時(shí)，借助化學(xué)氧化法[5]處理機(jī)械研磨后的金剛石刀具，其表面粗糙度算術(shù)均值Ra可達(dá)10 nm以下. Jirigalantu等[6]研究了一種用于金剛石刀具的剛性研磨技術(shù)，可將Ra優(yōu)化至1.51 nm，但是，上述研究多關(guān)注研磨工藝參數(shù)的選取，缺乏包含研磨機(jī)床誤差在內(nèi)的綜合研究. 為研究機(jī)床誤差對(duì)研磨精度的影響，需建立機(jī)床誤差模型. 常用的機(jī)床建模方法有誤差矩陣法、二次關(guān)系法、變分法、機(jī)構(gòu)學(xué)法和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)法，以上建模方法過(guò)程比較復(fù)雜，必須滿(mǎn)足較嚴(yán)格的假設(shè)條件. 劉又午[7]提出的基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機(jī)床建模方法，可將幾何誤差和熱誤差統(tǒng)一在一個(gè)完整的模型中，該方法非常適合研磨機(jī)床的精度建模分析. 朱春來(lái)[8]基于多體系統(tǒng)理論建立了某金剛石車(chē)刀研磨機(jī)誤差模型，得到了11項(xiàng)對(duì)空間精度影響較大的誤差源(如豎直方向的刀具進(jìn)給誤差)，但并未建立誤差與刀具粗糙度的定量關(guān)系. 總之，依靠研磨工藝優(yōu)化的機(jī)械研磨法較為成熟，但已進(jìn)入精度提升的瓶頸期；因此，本文從多體系統(tǒng)理論入手研究研磨機(jī)床幾何誤差對(duì)金剛石刀具后刀面粗糙度(簡(jiǎn)稱(chēng)“粗糙度”)的影響規(guī)律.

1 研磨機(jī)床模型

多體系統(tǒng)理論已被廣泛應(yīng)用于多軸數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人和多關(guān)節(jié)機(jī)械臂等的建模[9-11]. 研磨機(jī)床結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)示意圖見(jiàn)圖1. 其各體之間為剛性連接，每個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)關(guān)系都可以用一個(gè)4×4的矩陣表示[12-13].

0—床身；1—恒壓力軸；2—刀具擺軸；3—刀架；4—刀具；5—往復(fù)軸；6—俯仰軸；7—主軸；8—研磨盤(pán)

(a)結(jié)構(gòu)示意

(b)運(yùn)動(dòng)示意圖圖1 研磨機(jī)床結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)Fig.1 Structure and movement of lapping machine

運(yùn)動(dòng)學(xué)原理表明，一個(gè)物體在空間共有6個(gè)自由度( 3個(gè)平移自由度和3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度)[14].

當(dāng)物體A從空間一點(diǎn)移動(dòng)x、y和z的距離且旋轉(zhuǎn)α、β和γ的角度到另一點(diǎn)時(shí)，該運(yùn)動(dòng)變換矩陣為

T=TxTyTzTαTβTγ.

(1)

其中，

實(shí)際上，空間運(yùn)動(dòng)物體在6個(gè)自由度方向都會(huì)有誤差. 以沿X軸平動(dòng)為例，其存在定位誤差為Δx，直線(xiàn)度誤差為Δy、Δz，滾轉(zhuǎn)角誤差為Δα，偏擺角誤差為Δβ、Δγ，將各項(xiàng)誤差代入式(1)可得運(yùn)動(dòng)誤差矩陣. 由于角度誤差較小，故可認(rèn)為

略去各項(xiàng)二階誤差及以上的高階小量，可得簡(jiǎn)化的運(yùn)動(dòng)誤差矩陣為

(2)

以p，s分別代表靜止和運(yùn)動(dòng). 靜止時(shí)，研磨機(jī)床的恒壓力軸與床身之間有一初始位置差距，在X、Y、Z向的分量為x01p、y01p、z01p. 假設(shè)兩者之間無(wú)其他靜止誤差，則靜止坐標(biāo)變換矩陣與靜止誤差變換矩陣分別為

運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒壓力軸相對(duì)于床身有Z向的移動(dòng)z01s，且存在6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差：Δx01s、Δy01s、Δz01s、Δα01s、Δβ01s、Δγ01s,，分別代入式(1)與式(2)，可得運(yùn)動(dòng)變換矩陣與運(yùn)動(dòng)誤差變換矩陣分別為：

則床身與恒壓力軸間的實(shí)際變換矩陣為

T01=T01pΔT01pT01sΔT01s.

同理，可推得其他部件間的實(shí)際變換矩陣：T12、T23、T34、T05、T56、T67、T78

理想情況下，刀具與研磨盤(pán)間為線(xiàn)接觸，該線(xiàn)段在研磨盤(pán)坐標(biāo)系下的矢量形式為

將矢量由研磨盤(pán)坐標(biāo)系映射到刀具坐標(biāo)下,可得此刻的研磨曲面形貌(矢量線(xiàn)段)

S=(T01T12T23T34)-1T05T56T67T78Vw.

(3)

2 仿真分析

朱春來(lái)[8]指出旋轉(zhuǎn)軸軸向竄動(dòng)、徑跳和導(dǎo)軌直線(xiàn)度誤差等是影響研磨精度主要因素，文獻(xiàn)[15]認(rèn)為刀具擺軸的定位誤差和顛轉(zhuǎn)誤差及主軸的定位誤差和顛轉(zhuǎn)誤差都會(huì)對(duì)研磨刀具的刀尖圓弧產(chǎn)生影響. 研磨盤(pán)固結(jié)于主軸且對(duì)刀具表面起均化作用，故暫不考慮磨盤(pán)及磨粒的影響. 對(duì)本文的臥式研磨機(jī)床，往復(fù)導(dǎo)軌定位誤差影響刀具與研磨盤(pán)在圓弧切線(xiàn)方向的接觸位置，在不考慮研磨盤(pán)及磨粒的情況下，導(dǎo)軌定位誤差對(duì)研磨精度影響可忽略不計(jì). 故本文忽略了幾何誤差中的偏擺等角位移誤差和導(dǎo)軌的定位誤差，將旋轉(zhuǎn)軸軸向定位誤差轉(zhuǎn)化為端面跳動(dòng)，將其水平和豎直方向的直線(xiàn)度誤差轉(zhuǎn)化為徑向跳動(dòng)，研究主要運(yùn)動(dòng)部件中高速主軸和擺軸的端跳、徑跳誤差以及往復(fù)軸直線(xiàn)度誤差對(duì)粗糙度的影響，如表1所示.

表1 主要運(yùn)動(dòng)部件誤差Tab.1 Errors of main moving parts

圖2(a)為使用反向法并分離標(biāo)準(zhǔn)球圓度誤差后測(cè)得的研磨機(jī)床A主軸和擺軸的端跳、徑跳數(shù)據(jù)；圖2(b)為往復(fù)導(dǎo)軌的直線(xiàn)度誤差測(cè)試數(shù)據(jù).

(a)端面和徑向跳動(dòng)誤差

(b)直線(xiàn)度

圖2 研磨機(jī)床幾何誤差

Fig.2 Geometric errors of lapping machine

2.1 主軸端面和徑向跳動(dòng)誤差對(duì)粗糙度的影響

主軸端面和徑向跳動(dòng)誤差對(duì)粗糙度的影響見(jiàn)圖3.

(a)主軸端面和徑向跳動(dòng)誤差

(c)濾波示意圖

(b)刀具后刀面輪廓及局部原始輪廓誤差

(d)粗糙度

圖3 主軸端面和徑向跳動(dòng)誤差對(duì)刀具后刀面粗糙度的影響

Fig.3 Effects of spindle end face and radial errors on flank face roughness

取主軸轉(zhuǎn)速3 000 r/min(T=20 ms)，圖3(a)為按主軸實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)頻率和峰谷值特征構(gòu)建的幅值50 nm的端面跳動(dòng)和徑向跳動(dòng)誤差. 將誤差代入式(3)可得主軸誤差影響下的刀具后刀面表面形貌，如圖3(b)所示，其輪廓大致為圓柱面，減去公稱(chēng)形狀可得到刀具后刀面局部區(qū)域(取樣點(diǎn)數(shù)50×20)原始輪廓誤差.

如圖3(c)所示，針對(duì)高精度的金剛石刀具，按照相關(guān)文獻(xiàn)及國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)[16-17]，長(zhǎng)波截止波長(zhǎng)λf取0.25～0.80 mm，短波截止波長(zhǎng)λc則為λf的1/10；本文不涉及高頻環(huán)境噪聲，故λs=0. 圖3(d)為使用樣條濾波算法，對(duì)靠近刀尖處圓弧(下同)濾波得到的粗糙度輪廓中線(xiàn)(波紋度)和粗糙度輪廓誤差(粗糙度)；在幅值50 nm的主軸端面和徑向跳動(dòng)誤差影響下，刀具后刀面粗糙度算術(shù)平均偏差值為Ra=1.15 nm.

2.2 擺軸端面和徑向跳動(dòng)誤差對(duì)粗糙度的影響

按擺軸實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)特征構(gòu)建誤差幅值50 nm的端面跳動(dòng)與徑向跳動(dòng)誤差，代入式(3)并減去公稱(chēng)形狀后可得到由擺軸誤差影響下的刀具后刀面局部輪廓誤差. 圖4為濾波后的粗糙度輪廓中線(xiàn)和粗糙度；在幅值50 nm的擺軸端面和徑向跳動(dòng)誤差影響下，刀具后刀面Ra=0.001 14 nm.

圖4 擺軸端面徑向跳動(dòng)誤差影響下的粗糙度Fig.4 Roughness influenced by sway end face and radial errors

2.3 往復(fù)軸直線(xiàn)度誤差對(duì)粗糙度的影響

按往復(fù)軸實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)特征構(gòu)建直線(xiàn)度誤差100 nm/±40 mm的隨機(jī)直線(xiàn)度誤差，將其分解到水平(Z)和豎直(Y)方向可得往復(fù)軸的水平直線(xiàn)度誤差和垂直直線(xiàn)度誤差，再代入式(3)可得到僅有往復(fù)軸誤差情況下的刀具后刀面輪廓. 圖5為使用樣條濾波算法得到的粗糙度輪廓中線(xiàn)和粗糙度輪廓誤差；在幅值100 nm的往復(fù)軸直線(xiàn)度誤差影響下，刀具后刀面Ra=0.001 71 nm.

圖5 往復(fù)軸直線(xiàn)度誤差影響下的粗糙度

Fig.5 Roughness influenced by reciprocating straightness errors

2.4 耦合誤差對(duì)粗糙度的影響

為進(jìn)一步探究各個(gè)軸的誤差對(duì)粗糙度的影響程度，下面分析耦合誤差對(duì)刀具后刀面粗糙度的影響.

取主軸端面、徑向跳動(dòng)誤差50 nm，擺軸端面、徑向跳動(dòng)誤差50 nm，往復(fù)軸直線(xiàn)度誤差100 nm. 將各個(gè)軸的誤差代入式(3)得到耦合誤差影響下的刀具后刀面輪廓，減去公稱(chēng)形狀后得原始輪廓誤差，再濾波得到粗糙度輪廓中線(xiàn)和粗糙度，如圖6所示；耦合誤差影響下的刀具后刀面Ra=1.93 nm.

圖6 耦合誤差影響下的粗糙度Fig.6 Roughness influenced by coupled errors

2.5 各軸的誤差對(duì)刀具后刀面粗糙度的影響占比

該問(wèn)題本質(zhì)上是一個(gè)多元函數(shù)問(wèn)題，即

R=f(x1,x2,x3).

其中，R為粗糙度，x1、x2和x3分別為主軸、擺軸和往復(fù)軸的幾何誤差.

將粗糙度對(duì)各個(gè)變量的一階偏導(dǎo)數(shù)定義為該誤差的影響率Ki，即

Ki=?R/?xi,(i=1,2,3).

各影響率的絕對(duì)值在該組中所占比例定義為該誤差對(duì)粗糙度的影響因子Ii：

(4)

取主軸、擺軸端面和徑向跳動(dòng)誤差分別為50、100、150、200、250 nm；往復(fù)直線(xiàn)度誤差分別為100、150、200、250、300 nm. 實(shí)驗(yàn)包含3因素5水平，采用控制變量法設(shè)計(jì)了如表2的各組實(shí)驗(yàn). 為減小每次實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性影響，將每個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)100次，以100次實(shí)驗(yàn)得到的粗糙度算術(shù)均值作為該組誤差影響下的粗糙度.

表2 粗糙度計(jì)算值 Tab.2 Roughness calculation results nm

圖7為粗糙度隨各軸誤差變化的離散點(diǎn)和使用最小二乘法擬合得到的直線(xiàn).

(a)粗糙度隨主軸擺軸誤差變化

(b)粗糙度隨往復(fù)軸誤差變化圖7 粗糙度隨各個(gè)軸的誤差變化趨勢(shì)Fig.7 Variation of roughness with errors of axes

從圖7(a)可知，粗糙度隨主軸端面和徑向跳動(dòng)誤差幅值的增大而增大，其擬合直線(xiàn)的斜率為K1=0.043 1；擺軸誤差變化對(duì)粗糙度的影響較小，其擬合直線(xiàn)斜率為K2=0.000 7. 由圖7(b)可得，往復(fù)軸直線(xiàn)度誤差對(duì)粗糙度影響亦較小，其擬合直線(xiàn)的斜率為K3=0.000 1. 則任意誤差下對(duì)應(yīng)的后刀面粗糙度算術(shù)平均值Ra可由式(5)近似得到

Ra=Ra0+K1Δx1+K2Δx2+K3Δx3.

(5)

其中，Ra0為表2中的某組Ra值，Δx1、Δx2和Δx3為與該組誤差對(duì)應(yīng)的變化量.

由式(4)可得主軸、擺軸的端面和徑向跳動(dòng)誤差以及往復(fù)軸的直線(xiàn)度誤差對(duì)粗糙度的影響占比分別為98.18%、1.59%和0.23%.

3 研磨實(shí)例

為驗(yàn)證仿真分析的正確性，在A和B兩臺(tái)研磨機(jī)床上分別對(duì)編號(hào)為a1、a2和b1、b2的4把同材質(zhì)金剛石刀具進(jìn)行同工藝參數(shù)的研磨實(shí)驗(yàn). 研磨機(jī)床A主軸端面和徑向跳動(dòng)為49 nm，擺軸端面和徑向跳動(dòng)為43 nm，往復(fù)軸直線(xiàn)度為150 nm；研磨機(jī)床B主軸端面和徑向跳動(dòng)為96 nm，擺軸端面和徑向跳動(dòng)為80 nm，往復(fù)軸直線(xiàn)度為150 nm. 由式(5)可得兩臺(tái)機(jī)床對(duì)應(yīng)的后刀面粗糙度理論值分別為Ra, A=2.06 nm，Ra,B=4.11 nm. 圖8為使用原子力顯微鏡測(cè)得的4把刀具后刀面表面形貌，其表面均呈現(xiàn)出與圖3(b)仿真計(jì)算類(lèi)似的溝壑條紋，Ra的測(cè)量結(jié)果分別為2.28、2.30、4.31和4.21 nm，相對(duì)誤差分別為9.64%、10.40%、4.64%和2.43%.

(a)刀具a1 (b)刀具a2

(c)刀具b1 (d)刀具b2圖8 后刀面粗糙度Fig.8 Flank face roughness

對(duì)比仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，計(jì)算值略小于實(shí)驗(yàn)值，這是因?yàn)閷?shí)際研磨過(guò)程還包括其他部件的幾何誤差以及機(jī)床振動(dòng)、環(huán)境噪聲等因素的影響. 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的最大相對(duì)誤差為10%左右，說(shuō)明了后刀面輪廓數(shù)學(xué)模型的有效性和仿真分析的正確性.

4 結(jié) 論

1)本文針對(duì)某一研磨機(jī)床，借助多體系統(tǒng)理論和拓?fù)淅碚摚⒘嗽撗心C(jī)床的精度傳遞模型，通過(guò)理論推導(dǎo)與仿真分析首次建立了機(jī)床主要部件幾何誤差與刀具后刀面粗糙度的定量關(guān)系.

2)仿真計(jì)算結(jié)果略小于實(shí)驗(yàn)值，這是因?yàn)閷?shí)際研磨過(guò)程還包括其他部件的等幾何誤差以及機(jī)床振動(dòng)、環(huán)境噪聲等因素的影響.

3)在不考慮其他非核心運(yùn)動(dòng)部件誤差、振動(dòng)及環(huán)境因素影響的條件下，該型研磨機(jī)床的主軸、擺軸端面和徑向跳動(dòng)誤差以及往復(fù)軸的運(yùn)動(dòng)直線(xiàn)度誤差對(duì)粗糙度的影響占比分別為98.18%、1.59%和0.23%，表明主軸的端面和徑向跳動(dòng)誤差是影響粗糙度的關(guān)鍵因素，該結(jié)論可為研磨機(jī)床的設(shè)計(jì)制造和刀具研磨工藝的優(yōu)化提供理論支撐.