GeoGebra環境下對一類二元方程的探究與拓展

◇ 福建 林 雄

本文借助GeoGebra軟件對學生提供的方程進行探究,確認方程對應的曲線類型,并在此基礎上進行拓展,得到更一般化的結論．

1 問題的提出及解決

GeoGebra動態數學軟件(以下簡稱GGB)具有數與形同步呈現的強大功能,只要在指令欄輸入代數表達式,即可得到相應的幾何圖形,因此筆者常用GGB輔助教學,使學生也形成了這樣的習慣．一天學生提了一個問題:方程x2+y2=xy+1表示的是什么樣的曲線?他自己在軟件上畫了一下,感覺是橢圓(如圖1),但是又無法證明．

圖1

以下是筆者和學生共同探究的過程(T表示筆者,S表示學生)．

T:給你一個圖形,如何判斷它是橢圓?

S:用定義吧,到兩定點的距離之和等于定長,且和大于兩定點間距離．

T:如何找到這兩個定點(也就是焦點).

(學生進行討論．)

T:我們知道橢圓的焦點一定落在橢圓的長軸上,能不能先找它的長軸呢?類比標準橢圓,長短軸所在直線一定是橢圓的對稱軸．因此我們可以考慮先找到這個橢圓的對稱軸．

S:從方程的結構特征來看,把x與y互換得到的方程與原方程一致．說明圖形關于直線y=x對稱．同理也可以看出它是關于直線y=-x以及原點對稱的．由此可知,這個橢圓的長軸和短軸所在的直線就是直線y=x與y=-x,橢圓的中心為原點．

T:另外我們知道橢圓上到橢圓中心距離最長的點就是長軸的端點,距離最短的點就是短軸的端點．也可以從這個角度去確定橢圓頂點,進而確定長軸和短軸所在的直線．為使方法更具一般性,我們采取后一種方法．

下面用極坐標的方法求出曲線上到中心(原點)距離最長的點．

圖2

圖3

根據橢圓的定義可知該曲線就是橢圓．雖然它不是一個標準形式的橢圓，可以看出,它是由一個標準型的橢圓繞原點旋轉45°而得．可用GGB軟件驗證:點擊菜單中的旋轉按鈕,依次點選點P與點O后,輸入旋轉角度45°(也可旋轉-45°),就可以得到點P繞原點旋轉45°所得的對應點P′．右鍵點擊該點,選擇“跟蹤”命令,拖動點P,即可得點P′的運動軌跡,如圖3,顯然它是一個以x,y軸為對稱軸的標準橢圓．

2 問題的初步拓展

圖4

學生之間常常會分享交流他們的想法,并碰撞出思維的火花．幾天后,另一位學生帶著半神秘半炫耀的神情告訴筆者他的一個發現:只保留上述圖形在y軸右側部分(含y軸上的點),稱其為曲線C．作C關于y軸的對稱圖形,居然得到一個心形!如圖4,他想用GGB軟件畫出它的圖形,但是想不出它的表達式．筆者當時的第一反應是這孩子直觀想象能力真強!并且體現了課標要求的“用數學的眼光觀察世界”．接著意識到這是激發學生學習熱情的一個良好契機,就在班上公布了該學生的想法,并征集解決方案及問題的拓展方案．果然“群眾”的智慧是無窮的,沒多久,學生的各種方案就“蜂擁而出”．

(篇幅所限,省略其探究過程,直接呈現結論．)

第1批成果:相應圖形如圖5～7.

圖5 圖6 圖7

x2+y2=|x|y+1．

第2批成果:相應圖形如圖8～10.

x2+y2=|x|(-y)+1 x2+y2=x|y|+1 x2+y2=(-x)|y|+1圖8 圖9 圖10

不少學生表示在探究過程中,對坐標變換、方程結構與圖形對稱性關系的理解更加深刻，也初步體驗到了如何“用數學的語言表達世界”．

3 問題的再拓展

部分學生發現,上述所有的圖形變化都是含xy的項變化導致的，進而想探究含xy的項系數變化對圖形的影響．因此就在指令欄輸入方程x2+y2=pxy+1,創建關于p的滑動條．拖動滑動條改變p的值觀察圖形的變化．發現圖形可能是橢圓,也可能是直線或雙曲線(相應圖形如圖11,12,13).

|p|<2 |p|=2 |p|>2圖11 圖12 圖13

但以上結論只適用于x2與y2項系數為1的情況.很自然地，學生進而考慮：p值及其他項的系數改變,會引起圖形怎樣的變化呢?因此構建了更具一般化的方程mx2+ny2+pxy=q(m,n不同時為0),創建關于m,n,p,q的滑動條．拖動滑動條改變m,n,p,q的值并觀察圖形的變化．經過師生共同努力,得到以下探究結果．

考慮到參數變量較多,先對m進行分類討論．

當q=0,圖形為兩兩相交的直線(如圖14)；當q≠0,方程變換后可化為反比例函數形式,查閱資料可知它是特殊的雙曲線(如圖15)．

q=0 q≠0圖14 圖15

2)若m≠0,則方程可化為x2+ny2+pxy=q(其中x2的非零系數總可以化為1,這使問題得到進一步的簡化)．

q>0 q=0 q<0圖16 圖17 圖18

q>0 q=0 q<0圖19 圖20 圖21

q≠0 q=0圖22 圖23

當然這樣的探究結果是不完整的,大學解析幾何教材早已對二次曲線方程進行了全面完備的化簡與分類．學生的探究雖顯稚嫩,但可貴在其是自發、原創的,是與學生的知識儲備和能力水平相匹配的．正如弗萊登塔爾所言:學生通過自己努力得到的結論和創造是教育內容的一部分,是一種“再創造”,也是值得鼓勵的．在此過程中,需要學生綜合應用代數變形、分類討論、合情推理、數學模型識別等各方面能力，同時也培養了學生直觀想象、數學建模等核心素養．

另外,基于GGB軟件能同步呈現數與形變化的強大功能,對“形之美”的感受會激發學生去探究其表象背后的“數之理”．例如本文中學生發現心形曲線的構造方式就是產生拓展探究的契機．在探究過程中,GGB軟件對探究方向的確定、代數變形方法的產生起到了啟發與促進作用.比如從“形”的層面通過對圖形變化臨界點值的發現,產生了“數”的層面配方法的思路．說明GGB軟件在教學中的作用,不僅體現在演示,更體現在探究與驗證．這是無技術環境支持的教學無可比擬的優勢，也為我們指導學生進行探究式學習提供了新的工具與思路．

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提到“注重信息技術與數學課程的深度融合,提高教學的實效性”“引導學生會用數學眼光觀察世界,會用數學思維思考世界,會用數學語言表達世界”．本文算是在這方面所做的一次小小的嘗試,不足之處,歡迎批評指正．

(本文系福州市教育科學研究“十三五”規劃2019年度課題“基于GeoGebra的3D等技術培養學生直觀想象與數學建模能力的研究與實踐”(課題立項批準號FZ2019GH001)的研究成果．)