射影定理五應(yīng)用

◇ 山東 楚凌霞

直角三角形的射影定理給出了直角三角形中邊之間的關(guān)系,利用其求解的關(guān)鍵是把握好其中的比例關(guān)系,根據(jù)已知的兩條邊來(lái)求解另外一邊的長(zhǎng)度.由此可以用來(lái)處理一些相關(guān)的問(wèn)題,本文結(jié)合實(shí)例加以剖析.

1 求解邊長(zhǎng)

圖1

分析結(jié)合題目條件可知CD，DE分別是Rt△ABC和Rt△ACD斜邊上的高,故通過(guò)直角三角形的射影定理建立相應(yīng)的關(guān)系式來(lái)求解對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng).

2 求解比值

分析先設(shè)出AD的長(zhǎng)度,利用直角三角形的射影定理建立相應(yīng)的方程,求出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),再利用直角三角形的射影定理得到相應(yīng)的邊長(zhǎng)關(guān)系式,進(jìn)而求得相應(yīng)的比值.

3 證明等式

圖2

分析根據(jù)直角三角形的射影定理,并結(jié)合邊長(zhǎng)的關(guān)系與直角三角形相似等知識(shí)加以轉(zhuǎn)化,從而證得相應(yīng)的等式成立.

證明由于CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,根據(jù)直角三角形的射影定理,可得AC2=AD·AB,而AB=AF+FB,所以AC2=AD·AF+AD·FB.

4 證明比例關(guān)系

圖3

分析根據(jù)直角三角形的射影定理、相似三角形等建立相應(yīng)的比例關(guān)系式,再結(jié)合所要證明的結(jié)論加以合理轉(zhuǎn)化.

5 證明相似

圖4

分析根據(jù)直角三角形的射影定理建立相應(yīng)直角三角形中邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系,并合理變形來(lái)建立相似三角形問(wèn)題的比例關(guān)系式，從而達(dá)到證明的目的.