探究導函數“隱零點”問題的處理策略

◇ 廣東 何仲信

導數是求解函數單調區間、極值、最值以及與數列或函數有關的不等式問題的重要方法.因為導函數中常常含有sinx,cosx,lnx,ex等,使得導函數的零點無法求解,但利用零點存在定理可判斷出其零點是存在的,這種零點我們常稱之為“隱零點”．導函數的“隱零點”是命題的重點,也是學生解題的難點,本文對常用的處理策略進行歸納總結,以期幫助讀者順利解題．

1 策略歸納

對于導函數的“隱零點”問題,筆者歸納總結出了常用的處理方法,主要有如下6種．

1) 二次求導

對導函數f′(x)再次求導,得到f″(x),再通過f″(x)的正負判斷,得出f′(x)的單調區間及最值,若f′min(x)≥0,則f(x)單調遞增;若f′max(x)≤0,則f(x)單調遞減．

2)設而不求

若導函數的零點無法求解,但利用零點的存在定理判斷零點是存在的,就可以設出零點,并確定零點的范圍,得出函數的單調區間,從而表示出函數的最值．在問題的求解過程中,并沒有求出零點的具體值,而是用所設的變量來表示,這種方法稱為設而不求法．

3)零點分段討論

求導后若導函數的零點無法求出,但可求出構成導函數的基本初等函數的零點,以這些零點為分段點,討論導函數的正負．

4)放縮函數

證明不等式f(x)>a,常規方法是直接求函數f(x)的最值,當導函數的零點不易求解時,若能找到一個中間函數g(x),有f(x)≥g(x),且能證明g(x)>a,則可得f(x)>a．函數g(x)的尋找可通過將函數f(x)進行恰當放縮得到．

5)局部分析

若f(x)可表示為g(x)與h(x)的和或差,則可分別對g(x),h(x)進行求導,研究函數的最值,即局部求導,進而研究f(x)的最值．由于這種方法會擴大或縮小函數值域,具有一定的局限性,只適用于某些不等式的證明問題．

6)轉化函數

2 典例說明

對某一問題有時用上述多種策略中的某種即均可處理,有時需要綜合應用多種策略．下面舉例說明．

(1)求a;

(2)證明:f(x)>-1．

(2)由(1)得f(x)=(2x-1)lnx+x-1=2xlnx-lnx+x-1,x∈(0,+∞)．

方法1(局部分析)令g(x)=2xlnx,h(x)=-lnx+x-1．

綜上，f(x)>-1．

方法2(轉化函數)f(x)>-1,即(2x-1)·lnx+x-1>-1,即

(2x-1)lnx+x>0．

①

綜上，f(x)>-1．

方法3(放縮函數) 易證x-1≥lnx(x>0),所以-lnx+x-1≥0,故有

f(x)=(2x-1)lnx+x-1≥2xlnx．

綜上，f(x)>-1．

總之,針對不同的問題導函數“隱零點”的處理方法可能不同,同學們要把握題目條件,結合函數特征,多種方法擇優而用．