解三角形問題的處理策略

◇ 山東 馬宗華

在解三角形問題時,要根據題目條件以及三角形的特征來準確判斷,進而正確分析問題.本文結合實例對破解三角形中“已知兩邊及其中一邊的對角”問題的幾種常見的策略加以剖析.

1 借助正弦定理

破解三角形中“已知兩邊及其中一邊的對角”問題時,往往可以利用正弦定理,建立涉及已知三角形的兩邊的關系式,確定另一邊的對角的正弦值,結合三角形的性質與相關定理綜合題目條件加以分類討論.

分析本題是“已知兩邊及其中一邊的對角”求解另一邊的對角問題,可利用正弦定理求解對應角的正弦值,并結合“三角形中,大邊對大角”的性質與相關定理加以綜合與應用.

2 借助余弦定理

破解三角形中“已知兩邊及其中一邊的對角”問題時,若涉及求解第三邊,往往要利用余弦定理構造二次方程進行求解,直接結合方程解的情況來確定三角形解的個數,避免利用正弦定理時的分類討論.

分析本題可兩次利用正弦定理來達到求解相應邊長的目的，而借助余弦定理,直接通過列出相應的二次方程,求解方程便可達到目的,可簡化過程.

3 借助數形結合

破解三角形中“已知兩邊及其中一邊的對角”確定三角形解的個數,或者已知三角形解的個數確定邊或角的限制條件問題時,可以借助平面幾何圖形的直觀性作圖來分析,進而得以正確判斷或求解.

A. 有一解

B. 有兩解

C. 無解

D. 有解但解的個數不確定

分析結合相應邊長的大小比較,通過三角形的圖形加以直觀轉化,利用對應圓與直線的交點情況來判斷三角形的解的情況.

圖1

解三角形問題時,經常要借助正弦定理、余弦定理或數形結合等幾種方法來處理,不同的方法各有各的優點,要學會靈活應用,碰到不同類型的解三角形問題時,要選擇最有效的破解策略,實現解題的最優化.