“源”來如此
——一類絕對值函數的“中值”探究

◇ 山東 弭連玉

自從2015年浙江卷理科第15題出現含絕對值的二次函數后,與含絕對值二次函數相關的各類問題如雨后春筍般接連冒出來,其中不乏一些經典題型和處理策略使人記憶猶新,特別是對絕對值不等式性質的巧妙應用更使人拍案叫絕.本文就對一類含絕對值二次函數的“中值”取法的原理,闡述一些個人觀點,請同行給予指導．

1 問題提出

本題是2017年全國高中數學聯賽一試(A卷)的簡答題,主要考查二次函數與絕對值的相關性質.此類問題曾是2015年浙江高考將導數內容進行刪減后考查的一大熱點與亮點,在各類高考模擬卷中更是時有出現,可謂背景深厚,而究其根源,發現其最早來自于各大數學聯賽．

證明令f(x)=x2-kx-m,x∈[a,b],則f(x)∈[-1,1],于是

-1≤f(a)=a2-ka-m≤1,

①

-1≤f(b)=b2-kb-m≤1,

②

③

由①+②-2×③得

2 “再問”標準答案

(代數來源1)

證明-1≤f(a)=a2-ka-m≤1,

①

-1≤f(b)=b2-kb-m≤1．

②

③

由③×(1+λ)得

④

由②×λ+①得

-(1+λ)≤a2+λb2-k(a+λb)-
m(1+λ)≤1+λ．

⑤

由④-⑤可得

當然一汪泉水的“源頭”可以有好幾處,如果我們想一探到底,這里還得引入新的知識點——極差．

(代數來源2)

引例2二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,n],記極差M=fmax(x)-fmin(x),試探求極差M與何值相關.

當-2n≤b≤-(m+n)時,

當-(m+n)≤b≤-2m時,

從而可得以下結論．

由此結論,我們再看原題,令

f(x)=x2-kx-m,|x2-kx+m|≤1,

我國著名數學家華羅庚先生曾說過：“數缺形時少直觀,形缺數時難入微，數形結合百般好,隔離分家萬事休.”二次函數作為一類有圖象特征的函數,更應該從幾何特征上加以分析,故而我們先分析絕對值的幾何意義——表示距離,進一步發現幾何上的“源”．

(幾何來源)

|x2-kx-m|的幾何意義可表示為函數g(x)=x2與直線h(x)=kx+m的豎直距離．

由題意|x2-kx-m|≤1，則

|g(x)-h(x)|≤1,

由于g(x)=x2的圖象確定,h(x)=kx+m的圖象不確定,如圖1，但易知

|g(x)-h(x)|max=max{|g(a)-h(a)|,
|g(b)-h(b)|,|g(x0)-h(x0)|},

x0為直線h(x)=kx+m平移后與g(x)=x2相切時切點的橫坐標．

圖1

|b2-(kb+m)|≤1,

②

③

由①+②-2×③得

很多時候,我們都迷失于標準答案的解析中,看似自然的表象下面往往隱藏著“本源”的東西,而這種“本源”的挖掘不正是數學核心素養中“邏輯思維”能力的體現嗎?作為一名教師,我們更應該關注問題的本質,少點“技巧”與“套路”,而是教會學生多尋找、多思考問題的“源”在何方!