巧轉(zhuǎn)三點(diǎn)共線，妙求最值問(wèn)題
——一道向量問(wèn)題的多解剖析

◇ 山東 葛洪雷

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.如何提升學(xué)生的解題能力,是每位老師都要思考的重要問(wèn)題.經(jīng)過(guò)理論和教學(xué)實(shí)踐證明,一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現(xiàn)不同解法的同時(shí),展現(xiàn)思維過(guò)程,使學(xué)生能力得以拓展與提升.

分析平面向量的線性運(yùn)算問(wèn)題一直是高考中的常見(jiàn)題型,而涉及平面向量的線性運(yùn)算與函數(shù)、不等式以及最值等交會(huì)與綜合的問(wèn)題,則具有一定的創(chuàng)新性,難度較大.

解法1(阿波羅尼斯圓法)由BC=6,AC=2AB,可知點(diǎn)A的軌跡是一個(gè)圓,以BC所在的直線為x軸,建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,可知B(2,0),C(8,0),則點(diǎn)A的軌跡方程為x2+y2=16,取線段AC的中點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F,使得AB=BF,則有

圖1

解法2(三角函數(shù)法)如圖2,取線段AC的中點(diǎn)N,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M,使得AB=BM.

設(shè)AN=t,則AC=2t,AB=BM=t,則有

圖2

在△ABC中,由余弦定理可得

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得

所以