一道2017年全國卷Ⅱ文科數學填空題的多解與變式

◇ 江蘇 耿德倫

美國著名的數學教育家G·波利亞曾經說過:“觀察可能導致發現,觀察將揭示某種規則、模式或定律.”在解決一些典型的數學問題時,我們要進行深入觀察,多思維,巧拓展,往往會有意想不到的收獲.本文圍繞一道2017年全國卷Ⅱ中圓錐曲線問題,體會一下深入觀察而形成多種解法的魅力.

1 試題探究

分析本題巧妙地把拋物線的定義、方程與幾何性質、直線的方程、直線與拋物線的位置關系、點到直線的距離公式以及平面幾何等知識加以整合,題中既有“數”的抽象,又有“形”的直觀,考查了函數與方程思想、運算求解能力等.通過對本題的深入觀察與研究,筆者發現可以從多個角度切入,采用多種方法來分析與求解.

1.1 利用點到直線的距離公式處理

故選C.

1.2 利用拋物線的定義處理

解法2由解法1可知點M的橫坐標為x=3,而MN⊥l,結合拋物線的定義可得

|MN|=|MF|=3+1=4.

圖1

1.3 利用焦半徑公式處理

2 變式練習

2.1 改變條件降低難度

變式1過拋物線C:y2=4x的焦點F的直線交C于點M,l為C的準線,點N在l上且MN⊥l,若|MF|=4,則M到直線NF的距離為( )．

故選C.

2.2 引入參數改變條件

故選C.

通過對引例的解決并深入觀察,發現根據條件可加以拓展,從而進行深化與變式,從中發現問題、提出問題、分析問題,最終得以解決問題,真正達到“解一題拓一類,拓一類通一片”,避免“題海戰術”,從而真正做到提升思維,拓展能力.