二項式巧求解，多解法顯身手
——2017年浙江卷第13題解法探究

◇ 山東 劉艷美

涉及多項式的二項式問題是近年高考中比較常見的題型,其本質是依托二項式定理的定義、公式與性質,關鍵是把相應的問題加以合理地化歸與轉化,將其轉化為易于求解的簡單二項式定理問題進行求解,重點考查學生解題能力,培養學生數學核心素養.

1 高考真題

題目(2017年浙江卷)已知多項式(x+1)3·(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=________,a5=________.

分析1由于涉及的兩個二項式的次數分別為3和2,次數不高,運算的量也不大,因此可以考慮直接利用多項式乘法來處理,比較直接有效.

解法1由于(x+1)3(x+2)2=(x3+3x2+3x+1)(x2+4x+4)=x5+(4x4+3x4)+(4x3+12x3+3x3)+(12x2+12x2+x2)+(12x+4x)+4=x5+7x4+19x3+25x2+16x+4,故a4=16,a5=4.

分析2將兩個二項式各自展開,結合所求一次項的系數和常數項的值,通過兩個乘式中項的性質加以分析與處理,可省去不必要的計算.

解法2由于(x+1)3(x+2)2=(x3+3x2+3x+1)(x2+4x+4),所以a4=3×4+1×4=16,a5=1×4=4.

分析3觀察多項式的展開式,要求的兩項分別是一次項的系數和常數項,可知其中常數項就是兩個二項式的常數項相乘,而一次項的系數則是每個二項式的一次項系數與另一個二項式的常數項相乘的和.

分析4先確定a4與a5所表示的意義,利用二項式定理通過分類討論來確定含x項的系數a4,并直接通過特殊賦值法來求解常數項a5的值.

a5=(0+1)3(0+2)2=4.

本題主要考查二項式定理的運用,考查了化歸與轉化的數學思想和等價變形的能力.二項式定理是一個恒等式,可以結合二項式定理的定義加以展開,也可以根據系數特征進行處理,還可以利用特殊值加以賦值處理.方法眾多,技巧各異.

2 變式探究

A. 15 B. 20 C. 30 D. 35

變式3已知多項式(x+1)4(x+2)3=x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7,則a1+a3+a5=________,a2+a4+a6=________.

①

令x=-1,可得-1+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-1+1)4(-1+2)3=0,則有

a1-a2+a3-a4+a5-a6=-7,

②

由①+②可得a1+a3+a5=208,由①-②可得a2+a4+a6=215．

求解二項式系數問題,首先要掌握二項式定理的定義,熟記二項式系數的性質,其次要掌握特殊賦值法,賦值法是解決二項式系數問題的重要手段.