含參數的冪函數問題求解策略

◇ 山東 于苗苗

含有參數的冪函數問題是冪函數圖象與性質應用的一類重要問題，正確求解含參數的冪函數問題關鍵是理解冪函數的概念、圖象特征以及性質等.本文就舉例分析常見的幾種含參數的冪函數問題及其處理策略.

1 概念中的含參問題

判斷一個函數是否為冪函數要把握住冪函數的概念.

分析本題需根據冪函數的概念建立含有相應參數的不等式組,通過求解不等式組來達到確定參數的目的.

2 圖象中的含參問題

根據冪函數的圖象特征,關注冪函數的指數在α>1，α=1，0<α<1，α=0以及α<0時冪函數y=xα的圖象特征,建立相應的關系式并結合其他相關的條件確定參數的取值情況.

分析依據冪函數的圖象特征來確定解析式,需構建指數滿足的不等式解出相應參數的取值范圍,再進一步挖掘隱含條件合理分類確定.

解因為函數的圖象與兩坐標軸都沒有公共點,則n2-2n-3≤0,解得-1≤n≤3,又由于n∈Z,所以n=-1,0,1,2或3,又因為函數圖象關于y軸對稱,則n2-2n-3為偶數,當n=-1時,n2-2n-3=0為偶數.

當n=0時,n2-2n-3=-3為奇數;當n=1時,n2-2n-3=-4為偶數;當n=2時,n2-2n-3=-3為奇數;當n=3時,n2-2n-3=0為偶數,所以n的值為-1,1或3.當n=-1或3時，冪函數的解析式為y=x0(x≠0);當n=1時，冪函數的解析式為y=x-4(x≠0).

3 性質中的含參問題

在研究冪函數的性質時,要注意冪函數的定義域,在定義域取值的限制條件下,分析對應的奇偶性與單調性等性質.

分析正確理解題目所隱含的條件m∈N+,并在此條件上對冪函數的性質加以正確分析與判斷.

解由于冪函數的指數m2+m-1=m(m+1)-1,而m∈N+,從而可以判定m2+m-1是正奇數,所以冪函數y=f(x)的定義域為R．

由于冪指數m2+m-1是正奇數,則f(-x)=(-x)m2+m-1=-xm2+m-1=-f(x),所以冪函數y=f(x)是R上的奇函數,同時冪函數y=f(x)在R上單調遞增.

冪函數是高中數學最基本的函數類型,也是高考必考內容之一.涉及含參數的冪函數問題,要綜合冪函數的概念、圖象與性質,以及函數的解析式、圖象與基本性質等進行求解,這類問題能很好地考查基礎知識與知識應用能力.