例談數列中的周期性問題

◇ 山東 于立軍

數列是一種特殊的函數,因此，可以利用函數的性質求解部分數列問題.當然,在數列中也必然存在著類似函數的周期性等問題，但有些問題,表面上看似與周期無關,實際上隱含著周期性,直接分析求解很難下手,一旦揭示了周期,問題便能迎刃而解.

1 利用周期性求解數列中的通項問題

根據數列的概念,利用歸納與猜想方法來求解數列的通項公式是教學的重點和難點,學生剛接觸數列知識,面臨的困難是找不出數列的規律,難以發現項與項數之間的關系其實就是自變量n與函數an的關系.

(1)1,0,-1,0,1,0,-1,0,…;

(2)a,b,a,b,a,b,….

(2)本題的通項公式有多種形式：

2 利用周期性求解數列中某些項的值

在數列中求解某些項的值,也就是相當于求一些對應的函數值.說起來很簡單,但如果遇到通項公式沒有給出或是只給出相應的遞推公式時,解答起來也就不那么容易了.此時可以通過分析遞推公式中的規律,找出其周期,巧妙解決問題.

a2 020=a336×6+4=a4=-a1=-2 019.

3 利用周期性求解數列中某些項的和

數列中求和問題是難以把握且容易出現的問題，但通過數列的周期性,找出數列的規律,抓住實質,就可以把求和問題轉化為簡單的數列問題,從而得以解決.

又an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,則

an+1an+2an+3(an-an+4)=an-an+4,

即

(an+1an+2an+3-1)(an-an+4)=0,

而對任何自然數n都有anan+1an+2≠1,所以an-an+4=0,即an+4=an,故數列{an}是以4為周期的周期數列,那么

數學思想、方法是數學的靈魂,是開啟數學知識寶庫的金鑰匙,是層出不窮的數學發現的源泉.利用函數的思想、方法解決數列問題,能使學生開闊眼界,拓寬思路,體會數學思想、方法的重要性.