小學(xué)中高年級數(shù)學(xué)課堂中科學(xué)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法

浙江省杭州市余杭區(qū)太炎小學(xué) 陸曉菁

在核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)下，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一個重要目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。而數(shù)學(xué)建模思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，可以幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識與實(shí)際數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，訓(xùn)練他們的數(shù)學(xué)思維，有利于促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展。因此，如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中科學(xué)地構(gòu)建與運(yùn)用數(shù)學(xué)模型值得深入探討。

一、基于問題情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)知識的形成源于現(xiàn)實(shí)社會生活的一系列實(shí)踐活動，引導(dǎo)小學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)視角入手去理解數(shù)學(xué)知識，是輔助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的一種重要手段。在實(shí)際的數(shù)學(xué)教材中，教師要注意深入挖掘教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，科學(xué)地創(chuàng)設(shè)能夠啟發(fā)他們思維的問題情境，以此激活學(xué)生的思維以及已經(jīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識和形成的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，力求以此激發(fā)他們的探究欲。特別是通過問題情境的科學(xué)創(chuàng)設(shè)，在其中滲透數(shù)學(xué)模型構(gòu)建思想，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題探究與思考等一系列思維活動構(gòu)建相應(yīng)的問題模型，從而借助問題模型的創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用來發(fā)展小學(xué)生的模型思維。在所創(chuàng)設(shè)的問題情境中，教師在引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模后，可以繼續(xù)開展“去情境化”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，力求可以促使學(xué)生將生活數(shù)學(xué)逐步向抽象化的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，最終完成數(shù)學(xué)建模任務(wù)。

例如，在小學(xué)中年級數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，“雞兔同籠”問題是比較經(jīng)典的一類數(shù)學(xué)問題，其所包含的具體問題情境主要為：在一個裝有若干只兔和雞的籠子中，總共有8 個頭，26 條腿，試問籠子中的兔和雞各有多少只？基于日常生活經(jīng)驗(yàn)，小學(xué)生知道每只兔有4 條腿，每只雞有2 條腿，之后再依據(jù)相應(yīng)的問題情境，借助列表嘗試，可以最終得到籠子中有3 只雞，5 只兔。與此同時，通過仔細(xì)分析，還可以使學(xué)生意識到兔和雞的數(shù)目在列表中改變的時候，腿的條數(shù)是不會變的，這樣就可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系模型，即“數(shù)量關(guān)系模型=4×（兔只數(shù)）+2×（雞只數(shù)）=總腿數(shù)”，這樣就可以為“雞兔同籠”的問題求解以及其他類似的數(shù)學(xué)問題求解奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

二、基于歸納推理，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在小學(xué)中高年級階段，小學(xué)生已經(jīng)具備了一定的思維意識，為數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。歸納推理作為一種重要的思維方式，主要是從個別向一般的推理，具體就是從個別事物向大范圍過渡或從特殊事例推導(dǎo)出一般性的原則、規(guī)律或特征的重要解釋方法。如果教師可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)用歸納推理，那么可以幫助學(xué)生順利地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。但是在構(gòu)建歸納推理數(shù)學(xué)模型期間，要對需要求解的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行仔細(xì)梳理，收集和了解必要的數(shù)學(xué)背景與信息等，之后結(jié)合這些知識與經(jīng)驗(yàn)，明確問題求解中涉及的各種相關(guān)數(shù)學(xué)知識以及學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。如此一來，通過引導(dǎo)學(xué)生從看似毫無規(guī)律和章法的數(shù)學(xué)問題中找尋比較恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)內(nèi)容，科學(xué)地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，找到相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律，最后配合驗(yàn)證和應(yīng)用模型來提升學(xué)生的模型建構(gòu)能力。

例如，試根據(jù)圖1 的圖形規(guī)律，歸納出多邊形內(nèi)角和的規(guī)律。

小學(xué)生通過仔細(xì)分析圖1 中的圖形構(gòu)成情況，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的求解過程可以先將待求解的多邊形劃分成若干個三角形，之后再利用三角形內(nèi)角和與三角形數(shù)目做乘，即可明確最終的多邊形內(nèi)角和。而多邊形可以劃分成的三角形數(shù)目可以用（邊數(shù)-2）來表示。通過上述的觀察、歸納和概括，可得多邊形內(nèi)角和為：180°×（n-2），這樣就可以構(gòu)建出具體的數(shù)學(xué)模型，大大提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

三、基于問題求解，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在小學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題期間，一般需要先后經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題情境，分析與簡化數(shù)學(xué)問題信息，靈活地采用數(shù)學(xué)知識、方法與技能，概括數(shù)學(xué)問題中包含的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建解決數(shù)學(xué)問題的模型，最后利用數(shù)學(xué)模型方面的知識求解數(shù)學(xué)問題的過程。通過該種數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用，有利于輔助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，同時，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維。因此，在數(shù)學(xué)問題求解期間，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，明確其中包括的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的同時，形成良好的數(shù)學(xué)建模思想，最終達(dá)到舉一反三、觸類旁通的作用。

例如，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中可以為學(xué)生提供下述幾道應(yīng)用題：

（1）現(xiàn)有一塊長方形田地，其寬為10m，周長為80m，試求它的長是多少？

（2）小明買了2 套課桌椅，總計(jì)花費(fèi)80 元，已知每張課桌的價錢為10 元，試求每把椅子的價錢？

（3）現(xiàn)有甲、乙、丙三個同學(xué)一同去植樹，其中甲同學(xué)種植了10 棵，乙同學(xué)種植了80 棵，且乙同學(xué)種植的棵數(shù)恰好為甲同學(xué)和丙同學(xué)所種樹木的2 倍，試求丙同學(xué)種植了多少棵樹？

通過上述3 道看似各不相同的數(shù)學(xué)例題展示，學(xué)生通過求解問題，發(fā)現(xiàn)了它們的數(shù)量關(guān)系以及求解策略等具有很強(qiáng)的相似性，即這些數(shù)學(xué)問題都是已知兩個數(shù)的和的2 倍是多少，并且知道其中一個數(shù)的多少，求解另一個數(shù)是多少的數(shù)學(xué)問題，相應(yīng)的求解算式都為80÷2-10，所對應(yīng)的求解方程為（x+10）×2=80。如此一來，就構(gòu)建了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，配合相關(guān)類型題的求解，可以逐步夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，促使學(xué)生切實(shí)體會到數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的趣味性，有效提升他們的數(shù)學(xué)解題能力。

總之，數(shù)學(xué)模型是輔助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一個有效工具。在教學(xué)中滲透模型構(gòu)建思想，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力會產(chǎn)生積極影響，具體可以從問題情境創(chuàng)設(shè)、歸納推理論證和實(shí)際問題求解等方面入手，力求有效利用數(shù)學(xué)模型構(gòu)建思想提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。