例談不等式內容在小學數學中的滲透

湖北省武漢市光谷第六小學 何 靜湖北大學數學與統計學學院 嚴 卿

近年來，隨著建構主義、人本主義等理論的逐漸根植，數學教學中的重點逐漸轉移到對學生的關注。具體來說，關注的內容包括：學生在進入課堂前已經具備了哪些知識？學生是如何理解、掌握新的知識的？……對這些問題的回答構成了教師開展教學的基礎。對于前一個問題，又可以細分為兩個層面：一是應然層面，即學生理應具備了哪些知識；二是實然層面，即學生實際上具備了哪些知識。對同一個問題，還可以從另一個維度進行二分：一是學生在此前的數學學習中已具備了哪些知識；二是學生在日常生活中獲得了哪些知識。由此，構成了一個分析學生課前“學情”的2×2 框架，這一框架本身也反映出了解學生殊為不易。

本研究聚焦于對學生應具備的數學知識的分析，并以“不等式”內容為例。“不等式”內容貫穿了初中、高中、大學的數學學習，在各階段又滲透于不同章節中，足見其重要性。實際上，“不等式”的一些性質、思想在小學階段就已經有所涉及，換句話說，其作為一種潛在的知識而存在。顯然，對這些潛在的內容進行挖掘，既能夠幫助小學數學教師在課堂中有意識地滲透不等式的相關知識，又能夠幫助中學教師明確學生學習的起點，這是本研究的價值。

一、小學數學中的不等式

在研究方法上，本研究對2013 版人教版義務教育小學數學教科書展開分析，挖掘其中涉及不等式的部分。經過歸納，小學階段的不等式內容主要體現在如下三個方面：

1.不等式的傳遞性在比較大小中的滲透（不等式的傳遞性：a＞b，b＞c，則a＞c）

這一滲透主要體現于單位換算中。例如，在三年級上學期《時、分、秒》這一章存在這樣一類問題——比較具有不同時間單位的數的大小，見例1。

例1：請你比較“4 時”和“240 秒”的大小。

通常，會選取一個中間量作為橋梁來進行比較。例如，可以把“4時”換算成“240 分”，容易判斷，“240 分”肯定大于“240 秒”，由此得出“4 時”＞“240 秒”。這里體現了不等式的傳遞性。類似情況在涉及不同單位量的比較時均有所體現。

2.不等式的可加性在估算中的滲透（不等式的可加性：a＞b，c＞d，則a+c＞b+d）

估算能力在人們解決實際問題的過程中發揮著重要作用，借助估算，不但可以減少計算步驟，提高問題解決的效率，還可以探索問題解決策略，具有實用性和廣泛性。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，在知識技能方面也要求學生“在具體情境中，能選擇適當的單位進行簡單的估算”。而在估算時，對于目標數量不再追求精準的計算，而是通過“大于”或“小于”來確定一個范圍，因此，必然涉及不等式的有關思想。例如，在三年級上冊《萬以內的加法和減法（一）》一章中有這樣一道題：

例2：一到三年級來了223 人，四到六年級來了234 人，巨幕影院有441 個座位，六個年級的學生同時看巨幕電影，坐得下嗎？

教科書在“分析與解答”環節給出了估算的具體方法，將223估小成220，234 估小成230，由于220 ＋230=450，因此一定是坐不下的。實際上，這一比較過程利用的就是不等式的可加性：令a=223，c=234，b=200，d=230，當a＞b，c＞d時，有a+c＞b+d，即223+234＞200+230。此外，該例中亦滲透了不等式的傳遞性。

最值問題是不等式的一個主要運用，也是中學數學中的一個難點。實際上，在小學三年級上冊《長方形和正方形》一章中，已經開始滲透這類問題，雖然在形式上并未直接給出不等式，見例3。

例3：用16 張邊長為1 分米的正方形紙拼長方形和正方形，怎樣拼，才能使拼成的圖形周長最短？

該例是一道探究型問題，通過學生動手操作、嘗試、觀察，主動發現“在小正方形個數一定的情況下，圖形的長和寬越接近，長方形的周長就最短”。實際上，這一結果正是基本不等式的運用。原題可以轉換為如下表述：已知長方形（正方形）的面積是16，長為a，寬為b，求周長2（a+b）的最小值。根據基本不等式，當a=b=4 時，a+b取得最小值，即當拼成長和寬都是4 的正方形時，周長最短。因此，雖然解答題目的過程并未直接使用基本不等式，但實際上已經蘊含了基本不等式的特征。

二、思考與啟示

1.提升重視，讓隱性知識外顯化

雖然小學數學中并未將不等式知識單列，但正如上文所分析，該內容在不同章節中都有所涉及。一方面，這表明了不等式內容的基礎性與應用的廣泛性，與其他知識很難完全割裂開來；另一方面，也體現了教材編寫者的這樣一種考量，即為中學階段的學習打下基礎。這就要求小學教師對涉及的不等式內容予以一定的重視，不能因為其在小學階段并非重點內容就有所忽視。對于體現不等式傳遞性、可加性的過程，應予以完整呈現，而非省略；對于體現基本不等式的探索性問題，宜留給學生足夠的探索、思考時間；對于小學生在不等式上存在的困難、問題，應及時發現，予以澄清。另一方面，此時顯然也不宜過于追求對抽象規則的記憶，關鍵在于通過具體例子體會與理解，做到淡化形式，注重實質。

2.強調聯系，貫徹核心素養培養目標

小學階段不等式知識的涉及，從另一個角度看，也體現了數學知識的普遍聯系。歸根結底，數學知識在不同學段與年級、不同章節中的設置，都是依據知識本身的邏輯、學生的接受能力、教學的科學性安排的結果，在肯定其合理性的同時，也需看到其對系統知識的割裂。這就要求教師在教學中盡可能將“割裂”的知識重新聯系在一起，融會貫通。這不僅僅針對不等式內容而言，推而廣之，教師應關注數學中各領域知識的脈絡，主動挖掘其中的聯系。實際上，這也正體現了當前核心素養培養目標的要求。核心素養是能力、品格與價值觀的凝練，這一目標超越了單純的知識理解，升華為知識遷移，并最終指向知識的創新。因此，教師不應僅僅停留于對當下章節、學段重難點知識的把握，而需有總領全局的意識，在更高的水平上理解、領會教學內容。